تاریخچه ی:
تابع متناوب
تفاوت با نگارش: 2
| - | !تعری تابع متناوب
تابعی که در طول زمان تکرار می‌شود، ((تابع متناوب)) می‌گویند. که این منحنی به صورت موج سینوسی یا کسینوسی است یعنی می‌تواند در فواصل زمانی معین تکرار گردند. به صورت نادقیق تابعی از اعداد حقیقی متناوب نامیده می‌شود، در صری که مقادیر آن در فواصل معین تکرار شوند.
تابع {TEX()} {f\left(x\right)} {TEX}=y متناوب است اگر عددی حقیقی و غیر صفر مانند m باشد بطوری که:
*برای هر x از دامنه x+m ، f نیز عضوی از دامنه f باشد.
*برای هر x از دامنه {TEX()} {f\left(x+m\right)} {TEX}={TEX()} {f\left(x\right)} {TEX} />با توجه به رابطه 1 تعریف فوق ، به سادگی دیده می‌شود که دامنه تعریف ه تابع مناوب باید بی‌کران اشد. به عبارت دیگر همه توابعی که دارای دامنه محدود هستند نامتناوب نیز می‌باشند. که در آن عدد m یک دوره تناوب تابع متناوب f نامیده می‌شود.
!یف دوره تناوب اصلی
در تابع متناوب {TEX()} {f\left(x\right)} {TEX}=y عدد حقیقی غیر صفر m که برای هر x از دامنه ع، ={TEX()} {f\left(x+m\right)} {TEX}{TEX()} {f\left(x\right)} {TEX} یک دوره تناوب تابع و کوچکترین مقار مثبت m (در صورت وجود) ((دوره تناوب اصلی)) نامیده می‌شود.
*با توجه به دو تعریف بالا به روشنی دیده می‌شود که هر مضرب صحیح غیر صفر از هر دوره تناوب یک تابع متناوب نیز می‌تواند دوره تناوبی از آ تابع باشد.
!مثالهایی از تابع متناوب
*در تابع =x-{TEX()} {left [ x \right ]} {TEX}{TEX()} {f\left(x\right)} {TEX} هر عدد صحیح غیر صفر یک دوره تناوب و عدد 1 دوره تناوب صلی می‌باشد.
*تابع {TEX()} {f\left(x\right)} {TEX}=c که در آن c عدد حقیقی ثابت مباشد، دارای دوره تناوب اصلی نیست ولی هر عدد حقیقی غیر صفر می‌تواند وره تناوب آن باشد.
*تابع f: R→R را که توط {TEX()} {f\left(x\right)} {TEX}=1 اگر t گیا باشد {TEX()} {f\left(x\right)} {TEX}=0 اگر t اصم بشد را در ن می‌گیری. ب زا ه عدد حقیقی t و هر د گویی m داری: />{TEX()} {f\left(t+m\right)} {TEX}={TEX()} {f\left(t\right)} {TEX}
بابراین f مناو است و هر عدد گویا یک دره تنو آن می‌باشد.
!ویژگیهی تابع متناوب />*اگ تاب {TEX()} {f\left(x\right)} {TEX}=y مناوب باشد. برای هر m قیقی ی صفر توبع {TEX()} {f\left(mx\right)} {TEX}=y و {TEX()} {f\left(x+m\right)} {TEX}=y نی متاوب واهد بو و در صورتی که تابع {TEX()} {f\left(x\right)} {TEX}=y دارای دو تناب ی برابر با T باشد، تع {TEX()} {f\left(mx\right)} {TEX}=y {TEX()} {f\left(m+x\right)} {TEX}=y دارای د تناوب اصی به ترتب برار {TEX()} {\frac{T}{\left|m\right|}} {TEX} و T خواهند بود. |
+ | ||V{maketoc}||
^@#16:
!تابع متناوب
توابعی را که در طول زمان تکرار می‌شوند، ((تابع متناوب|توابع متناوب)) می‌گویند. این منحنی ها به صورت موج سینوسی یا کسینوسی هستند یعنی می‌توانند در فواصل زمانی معین تکرار گردند. به صورت نادقیق تابعی از اعداد حقیقی متناوب نامیده می‌شود، رگه مقادیر آن در فواصل معین تکرار شوند.
تابع{TEX()} {y=f(x)} {TEX}متناوب است اگر عددی حقیقی و غیر صفر مانند m باشد بطوری که:
*برای هر{TEX()} {x} {TEX} از دامنه ی {TEX()} {f} {TEX}، عنصر {TEX()} {x+m} {TEX} نی عوی ا دامنه ی {TEX()} {f} {TEX} باشد.
*ی هر {TEX()} {x} {TEX} از دامنه، {TEX()} {f(x)=f(x+m)} {TEX} برقار باشد.
در این تعری {TEX()} {m} {TEX} یک دوره ی تناوب تاب متناوب {TEX()} {f} {TEX} نامیده می ود.
با تو ب رابه 1 در ری وق ، ه دگی ید ی‌و که دانه تیف ه تابع متناوب بای بی‌کن باشد. به رت یگ هم وابی که دارای دن مد د تناوب یباند. |
| - | *ار تابع {TEX()} {f\left(x\right)} {TEX}=y برای هر m و n صحیح غیر صفر توابع {TEX()} {f\left(x\right)^m} {TEX}=y و {TEX()} {f\left(x\right)^\frac{1}{n}} {TEX}=yنیز متناوب خواهند بود.
*اگر f متناوب با دوره تناوب m باشد، آنگاه به ازای هر عدد حقیقی t و هر عدد صحیح n داریم:
{TEX()} {f\left(t+na\right)} {TEX}={TEX()} {f\left(t\right)} {TEX}
از اینرو مقدار یک تابع متناوب با دوره تناوب a روی هر فاصله با طول {TEX()} {\left|a\right|} {TEX} تکرار می‌گردند. یعنی اگر f تابعی متناوب با دوره تناوب aباشد، آنگاه f متناوب با دوره تناوب na به ازای هر عدد صحیح و غیر صفر نیز هست.
*دوره تناوب اصلی توابع سینوس و کسینوس مساوی با 2π است. |
+ | !!دوره تناوب اصلی
ر تابع متناوب {TEX()} {y=f(x)} {TEX} عدد حقیقی غیر صفر {TEX()} {m} {TEX} که برای هر {TEX()} {x} {TEX} از دامنه تابع، در شرط {TEX()} {f(x)=f(x+m)} {TEX} صدق کند یک دوره تناوب تابع، و کوچکترین مقدار مثبت{TEX()} {m} {TEX} (در صورت وجود) ((دوره تناوب اصلی)) نامیده می‌شود.
__ نکته: __ با توجه به دو تعریف بالا به روشنی دیده می‌شود که هر مضرب صحیح غیر صفر از هر دوره تناوب یک تابع متناوب نیز می‌تواند دوره تناوبی از آن تابع باشد.
!!مثالهایی از توابع متناوب
*در تابع {TEX()} {f(x)=} {TEX} هر عدد صحیح غیر صفر یک دوره تناوب و عدد 1 دوره تناوب اصلی می‌باشد.
*تابع {TEX()} {f(x)=c} {TEX} که در آن {TEX()} {c} {TEX} عدد حقیقی ثابت می‌باشد، دارای دوره تناوب اصلی نیست ولی هر عدد حقیقی غیر صفر می‌تواند دوره تناوب آن باشد. r />*تابع {TEX()} {f:R \to R} {TEX} را که توسط {TEX()} {f(t)=1} {TEX} اگر {TEX()} {t} {TEX} گویا باشد و {TEX()} {f(t)=0} {TEX} اگر {TEX()} {t} {TEX} اصم باشد، در نظر می‌گیریم. به ازای هر عدد حقیقی{TEX()} {t} {TEX} و هر عدد گویای {TEX()} {m} {TEX} داریم:{TEX()} {f(t)=f(t+m)} {TEX} بنابراین f متناوب، و هر عدد گویا یک دوره تناوب آن می‌باشد.
---
!ویژگیهای توابع متناوب
*اگر تابع {TEX()} {y=f(x)} {TEX} متناوب باشد، برای هر {TEX()} {m} {TEX} حقیقی غیر صفر، توابع {TEX()} {y=f(mx)} {TEX} و {TEX()} {y=f(x+m)} {TEX} نیز متناوب خواهند بود و در صورتی که تابع {TEX()} {y=f(x)} {TEX} دارای دوره تناوب اصلی برابر با {TEX()} {T} {TEX} باشد، توابع {TEX()} {y=f(mx)} {TEX} و {TEX()} {y=f(x+m)} {TEX} دارای دوره های تناوب اصلی به ترتیب برابربا {TEX()} {\frac{T}{\left|m\right|}} {TEX} و {TEX()} {T} {TEX} خواهند بود.
*اگر تابع {TEX()} {y=f(x)} {TEX} متناوب باشد، آنگاه برای هر {TEX()} {m} {TEX} و {TEX()} {n} {TEX} صحیح غیر صفر، توابع {TEX()} {y=f(x)^m} {TEX} و {TEX()} {y=f(x)^{ \frac{1}{n}}} {TEX} نیز متناوب خواهند بود.
*اگر{TEX()} {f} {TEX} تابعی متناوب با دوره تناوب {TEX()} {m} {TEX} باشد، آنگاه به ازای هر عدد حقیقی {TEX()} {t} {TEX} و هر عدد صحیح {TEX()} {n} {TEX} داریم:
::{TEX()} {f(t)=f(t+na)} {TEX}::
از این رو مقادیرد یک تابع متناوب با دوره تناوب{TEX()} {a} {TEX}، روی هر فاصله با طول {TEX()} {|a|} {TEX} تکرار می‌گردند. نتیجه: اگر {TEX()} {f} {TEX} تابعی متناوب با دوره تناوب {TEX()} {a} {TEX} باشد، آنگاه{TEX()} {f} {TEX} متناوب با دوره تناوب {TEX()} {na} {TEX} به ازای هر عدد صحیح و غیر صفر نیز هست.
*دوره تناوب اصلی توابع سینوس و کسینوس مساوی با {TEX()} {2 \pi} {TEX} است.
|
| | *توابع مثلثاتی | | *توابع مثلثاتی |
| - | Tan={TEX()} {\frac{sin}{Cos}} {TEX}
CoT={TEX()} {\frac{Cos}{Sin}} {TEX}
sec={TEX()} {\frac{1}{Cos}} {TEX}
CSC={TEX()} {\frac{1}{Sin}} {TEX}
متناوب با دوره تناوب 2π هستند. />*دوره تناوب اصلی هر یک از توابع cot , tan برابر π است.
*دوره تناوب اصلی هر یک از توابع csc , sec برابر 2π است.
*دوره تناوب اصلی هر یک از توابع sec , csc برابر 2π است. |
+ | ::{TEX()} {tan= \frac{sin}{cos}} {TEX}::
::{TEX()} {cot= \frac{cos}{sin}} {TEX}::
::{TEX()} {sec= \frac{1}{cos}} {TEX}::
::{TEX()} {csc= \frac{1}{sin}} {TEX} ::
متناوب با دوره تناوب {TEX()} {2 \pi} {TEX} هستند. |
| | + | *دوره تناوب اصلی هر یک از توابع {TEX()} {tan} {TEX} و {TEX()} {cot} {TEX} برابر {TEX()} {\pi} {TEX} و دوره تناوب اصلی هر یک از توابع {TEX()} {sec} {TEX} و {TEX()} {csc} {TEX} برابر {TEX()} {2 \pi} {TEX} است. |
| | + | --- |
| | !مباحث مرتبط با عنوان | | !مباحث مرتبط با عنوان |
| | *((تابع متناوب)) | | *((تابع متناوب)) |
| | *((حرکت متناوب)) | | *((حرکت متناوب)) |
| | *((دوره تناوب)) | | *((دوره تناوب)) |
| | *((توابع مثلثاتی)) | | *((توابع مثلثاتی)) |
| | + | #@^ |
