: مجموعه

~~brown:__@#20:مجموعه(Set)#@__~~

!مفهوم مجموعه

«~~green:دسته ای از اشیای ===کاملاً مشخص=== و ===دو به دو متمایز=== را که در یک خاصیت مشترک باشند و بتوان با قاطعیت بیان نمود که شی خاصی در این مجموعه موجود است یا نه را مجموعه می گوییم~~.» به عبارت دیگر در تعیین اعضای یک مجموعه نباید هیچ گونه ابهامی موجود باشد. این نوع توصیف شهودی از یک مجموعه نخستین با توسط ((جرج کانتور)){img src=img/daneshnameh_up/4/4a/Biography.jpg}(1845-1918) (Georg Cantor) که خود نظریه مجموعه ها را در سال 1895 پایه گذاری کرده است، ارائه شده است.

به کلیه اشیایی که مجموعه را تشکیل می دهند عضو (member) یا عنصر (element) آن مجموعه می گویند.

در این توصیف از یک مجموعه نکات زیر قابل توجه است:

*اعضایی که در یک مجموعه قرار می‌گیرند باید کاملا مشخص باشند و به عبارت دیگر در پاسخ به این سوال که آیا شیء عضوی از این مجموعه است یا نه؟ هیچ ابهامی موجود نباشد.

به عنوان مثال دسته دانشجویان متاهل، اعداد طبیعی کوچکتر از 10، دسته خروسهای تخم گذار(!) بیانگر یک مجموعه می‌باشند در حالی که دسته دانشجویان روشنفکر، دسته اعداد طبیعی بزرگ، دسته شهرهای زیبای ایران بیانگر یک مجموعه ===نمی باشند=== چرا که در هر یک از این دسته‌ها در تعیین اشیایی که در مجموعه قرار دارند دچار ابهام می‌شویم. مثلا به طور دقیق معیاری برای روشنفکر بودن دانشجو موجود نمی‌باشد تا با قاطعیت بتوان گفت یک دانشجو خاص در این مجموعه قرار دارد یا نه(این امر تاحدی سلیقه‌ای است) و یا در تعیین مجموعه اعداد طبیعی بزرگ معیاری برای بزرگ بودن عدد وجود ندارد و ممکن است شخصی عدد 1000 را بزرگ در نظر بگیرد در حالی که شخصی دیگر به جای عدد 1000 عدد 10000000 را بزرگ در نظر گرفته و آن را عضو مجموعه بداند. همین مشکل در تعیین مجموعه شهر های زیبای ایران وجود دارد، ممکن است به نظر شخصی شهر اصفهان زیباترین باشد و در نظر دیگری شهر شیراز و لذا در تعین عضو مجموعه با ابهام روبرو هستیم.

*اعضایی که در یک مجموعه قرار می گیرند دو به دو متمایز اند و به عبارت ساده تر در یک مجموعه تکرار اعضا مجموعه جدیدی را بوجود نمی‌آورد و هر عضو یکبار نوشته می‌شود. همچنین در بین عضوهای یک مجموعه ترتیب وجود ندارد و با جابجایی اعضای یک مجموعه، مجموعه جدیدی به وجود نمی‌آید.

*اعضای مجموعه در یک خاصیت مشترک‌اند. یعنی هر عضو یک مجموعه این خاصیت مشترک را دارد و هر عضوی که این خاصیت را داشته باشد عضوی از این مجموعه است.

یک مجموعه را با حروف بزرگ انگلیسی چون...,S,A,B,C و اعضای آن را با حروف کوچک چون...,a,b,c نشان میدهیم.

برای نمایش یک مجموعه معمولا اعضای آن را بین دو { } قرار می دهیم مثلا مجموعه اعداد یک تا ده را به این صورت نشان می‌دهیم: __{A={1,2,3__ (روشهای دیگر نمایش مجموعه را در ادامه توضیح می‌دهیم)

!عضویت

*~~red:مثال:~~ مجموعه __{{{A={a,{a,{a__ چند عضو دارد؟

~~green:پاسخ:~~ این مجموعه دارای دو عضو است که عبارت اند از: {TEX()} {a\in A,\{a,\{a\}\}\in A} {TEX}

توجه کنید که a یک عضو از A محسوب می شود ولی {a} دیگر یک عضو از مجموعه A نمی‌باشد چرا که {a} دیگر یک مجموعه است و مفهوم آن با a متفاوت است.

!مجموعه تهی و مرجع

توجه کنید که مفهوم {TEX()} {\phi} {TEX} یا __{}__ اساساً با {TEX()} {\{\phi\}} {TEX} متفاوت است و مجموعه {TEX()} {\{\phi\}} {TEX} بیانگر مجموعه تهی ===نمی باشد=== چرا که خود دارای عضو {TEX()} {\phi} {TEX} است.

لازم به تذکر است که گاهی __به غلط__ مجموعه مرجع را به عنوان «مجموعه همه مجموعه ها» تعریف می کنند. در ادامه مطالعه نظریه مجموعه ها متوجه می شویم که مجموعه همه مجموعه ها اساسا وجود ندارد و این تعریف نادرست از مجموعه مرجع باعث ((تناقض)) می‌شود. پس در تعریف مجموعه مرجع باید دقت کرد تا این اشتباه رخ ندهد.

!نمایش مجموعه‌ها

در این روش اعضای مجموعه را در بین دو __{ }__ قرار می‌دهیم و به این ترتیب مجموعه مشخص می‌شود. به عنوان مثال مجموعه اعداد صحیح بین 2- تا 2 را به این صورت نمایش می‌دهیم: __{A={-2,-1,0,1,2__

اما این روش دارای محدودیت‌هایی است. اول اینکه برای نمایش مجموعه‌هایی با تعداد عضوهای زیاد کارایی کمی دارد و دوم اینکه اصولا برخی مجموعه‌ها را نمی‌توان با استفاده از نمایش اعضا مشخص کرد. به عنوان مثال مجموعه اعداد گویا یا حقیقی به این روش قابل نمایش نمی‌باشند(چرا؟). به این ترتیب به روشهای دیگری برای نمایش مجموعه‌ها نیاز داریم.

!!نمایش توصیفی(با علائم ریاضی)

در این روش برای نمایش یک مجموعه خاصیت مشترک بین اعضای مجموعه را بیان می‌کنیم. اگر (P(x یک ((گزاره نما)) در باره x باشد که خاصیتی را در باره x بیان می‌کند و U مجموعه مرجع (عالم سخن) باشد، مجموعه همه عضوهایی از U که خاصیت (P(x را به عنوان خاصیت مشترک دارند به این صورت نشان داده می‌شود{TEX()} {S=\{x\in U|P(x)\}} {TEX} که خوانده می‌شود مجموعه xهایی از U به طوری که(به قسمی که) (P(x(یا x خاصیت (P(x را دارا باشد). علامت __|__ به معنی «به طوری که» یا «به قسمی که» است. به عنوان مثال مجموعه __{A={-2,-1,0,1,2__ را می‌توان بهصورت {TEX()} {\{x\in Z|-3 نشان داد.

در حقیقت اساس این روش اصلی است که در ((نظریه اصل موضوعی مجموعه‌ها)) به آن ((اصل تصریح مجموعه‌ها)) (axiom of specification of sets)می گویند.

!!نمودار ون

در این روش که به آن نمودار اویلر هم گفته می‌شود از یک نمودار هندسی برای مشخص کردند یک مجموعه استفاده می‌شود که به نوبه خود دارای اهمیت است و بوسیله آن درک برخی از قضایا و مفاهیم در مورد مجموعه‌ها آسان می‌شود.

در این روش اعضای مجموعه مورد نظر را در داخل یک شکل هندسی بسته (معمولا دایره یا بیضی) قرار می‌دهیم و در صورت نیاز برای نمایش مجموعه مرجع شکل مورد نظر را داخل یک مستطیل قرار می‌دهیم. البته گاهی فقط نیاز به نمایش یک مجموعه است و اعضای آن برای ما مهم نمی‌باشد که در این صورت رسم یک دایره به عنوان یک مجموعه کافی است.

به عنوان مثال مجموعه {A={-2,-1,0,1,2 را به صورت زیر نشان می‌دهیم:

::{img src=img/daneshnameh_up/a/a1/Ven.jpg}::

و هرکجا نیاز به نمایش یک مجموعه دلخواه چون A باشد آن را به این صورت نشان می‌دهیم(M مجموعه مرجع است):

::{img src=img/daneshnameh_up/2/2e/Ven-graph.jpg}::

توجه داشته باشید که از ((نمودار ون)) نمی‌توان به عنوان اثباتی برای قضایای مجموعه‌ها استفاده کرد و این نمودارها تنها می توانند ایده اثبات قضیه‌ای را به ما بدهند و یا فهم مطلب را برای ما آسان کنند.

!معرفی چند مجموعه مهم

*مجموعه ((اعداد طبیعی)) را با {TEX()} {\mathbb{N}} {TEX} نشان می‌دهیم.

::{TEX()} {\mathbb{N}=\{1,2,3,4,5,...\}} {TEX}::

*مجموعه اعداد طبیعی نابیشتر از عدد طبیعی k را قطعه‌ای از اعداد طبیعی می‌گوییم و به صورت{TEX()} {\mathbb{N}_k} {TEX} نشان می‌دهیم.

::{TEX()} {\mathbb{N}_k=\{1,2,3,4,...,k\}} {TEX}::

*مجموعه همه اعداد اول را با {TEX()} {\mathbb{P}} {TEX} نشان می‌دهیم.

*مجموعه اعداد حسابی را با {TEX()} {\mathbb{W}} {TEX} نشان می‌دهیم.

::{TEX()} {\mathbb{W}=\{0,1,2,3,...\}} {TEX}::

*مجموعه اعداد صحیح را با {TEX()} {\mathbb{Z}} {TEX} نشان‌ می‌دهیم.

::{TEX()} {\mathbb{Z}=\{...,-2,-1,0,1,2,...\}} {TEX}::

* مجموعه اعداد گویا (منطق) را با {TEX()} {\mathbb{Q}} {TEX} نشان می‌دهیم.

::{TEX()} {\mathbb{Q}=\{\frac{m}{n}|m,n\in Z,n\ne 0\}} {TEX}::

*مجموعه اعداد گنگ یا اصم را با {TEX()} {\mathbb{Q}^\prime,\mathbb{Q}^c} {TEX} نشان می‌دهیم.

*مجموعه اعداد حقیقی را با {TEX()} {\mathbb{R}} {TEX} نشان می‌دهیم.

*مجموعه همه اعداد حقیقی بین دو عدد a و b را که شامل خود a و b نیز می‌باشد را بازه بسته a و b می گوییم و آنرا به صورت زیر نمایش می دهیم.

::{TEX()} {[a,b]=\{x\in R|a\le x\le b\}} {TEX}::

*مجموعه همه اعداد حقیقی بین دو عدد حقیقی a و b را بازه باز a و b می‌گوییم و آنرا به صورت زیر نشان می‌دهیم.

::{TEX()} {(a,b)=\{x\in \mathbb{R}|a

*مجموعه اعداد حقیقی بین دو عدد حقیقی a و b را که شامل a می‌باشد را به صورت زیر نشان می‌دهیم:

::{TEX()} {[a,b)=\{x\in \mathbb{R}|a\le x

*مجموعه اعداد حقیقی بین دو عدد a و b را که شامل b می‌باشد را به صورت زیر نشان می‌دهیم.

::{TEX()} {(a,b]=\{x\in \mathbb{R}|a

*مجموعه اعداد مختلط را به صورت زیر نشان می‌دهیم.

::{TEX()} {\mathbb{C}=\{a+bi|a,b\in \mathbb{R}\}} {TEX}::

!تساوی دو مجموعه

::{TEX()} {\forall x: x\in A\Leftrightarrow x\in B} {TEX}::

با توجه به تعریف فوق از تساوی دو مجموعه دو مجموعه A و B را نامساوی می گوییم و می نویسیم {TEX()} {A\ne B} {TEX} هرگاه حداقل یک عضو در یکی از این دو مجموعه موجود باشد که به دیگری متعلق نباشد.(نقیض گزاره فوق)

*~~red:مثال:~~ چه شرایطی بین a,b,c,d موجود باشد تا تساوی زیر برقرار باشد:

::{TEX()} {\{\{a\},\{a,b\}\}=\{\{c\},\{c,d\}\}} {TEX}::

~~green:پاسخ:~~ واضح است که بر طبق تعریف اعضای دو مجموعه باید یکسان باشند که لازم می آید داشته باشیم: {c}={a} و {a,b}={c,d} که از این دو عبارت نتیجه می گیریم که: a=b و c=d

!!اصل گسترش

این اصل بیان می‌کند، شرط لازم و کافی برای اینکه دو مجموعه A,B باهم برابر باشند این است که هر عضو A، عضو B و هر عضو B، عضو A باشد.

!زیرمجموعه

گزاره «A زیرمجموعه B است» را به صورت{TEX()} {A\subseteq B} {TEX} نمایش می‌دهند، همچنین گزاره «B یک ابرمجموعه A است» را به صورت{TEX()} {B\supseteq A} {TEX}می‌نویسیم و اگر A یک زیرمجموعه محض B باشد می‌نویسیم{TEX()} {A\subset B} {TEX}و یا{TEX()} {B\supset A} {TEX}.

از تعریف فوق نتیجه می‌شود گزاره «A زیرمجموعه B است» معادل است با گزاره زیر:

::{TEX()} {\forall x:x\in A\Rightarrow x\in B} {TEX}::

نقیض گزاره {TEX()} {A\subseteq B} {TEX}را به صورت{TEX()} {\lnot (A\subseteq B)\equiv A\not\subseteq B} {TEX} نشان می‌دهیم و معادل با این مطلب است که عضوی در A هست که متعلق به B نمی‌باشد. همچنین اگر A زیرمجموعه‌ای از B باشد، این مطلب را به شکل زیر بوسیله نمودار ون نشان می دهیم:

::{picture=subset.jpg}::

با استفاده از مفهوم زیر مجموعه می‌توان اصل گسترش را به این صورت بیان کنیم:

A=B است اگر و فقط اگر{TEX()} {(A\subseteq B)\land (B\subseteq A)} {TEX}

~~green:برهان:~~

مطابق این اصل A=B است اگر و فقط اگر هر عضو A متعلق به B باشد یا معادلاً {TEX()} {A\subseteq B} {TEX}و هر عضو B متعلق به A باشد یا معادلاً{TEX()} {B\subseteq A} {TEX} پس:

::{TEX()} {A=B\Leftrightarrow (A\subseteq B)\land (B\subseteq A)} {TEX}::

به عنوان مثال مجموعه اعداد طبیعی زیرمجموعه‌ای از اعداد صحیح می‌باشد.

!!قضایا

*__~~red:قضیه1-~~ __تهی زیرمجموعه همه مجموعه‌ها است.

~~green:برهان:~~

اثبات این قضیه به برهان خلف است.اگر تهی زیرمجموعه مجموعه دلخواه A نباشد(فرض خلف) پس عضوی در مجموعه تهی وجود دارد که متعلق به مجموعه A نمی‌باشد که این تناقض است چون تهی هیچ عضوی ندارد و لذا تهی زیرمجموعه A است. البته با نگاهی دقیق‌تر متوجه می‌شویم این قضیه خود به خود به انتفاع مقدم برقرار است چرا که این قضیه به نوعی بیان می‌کند اگر A یک مجموعه دلخواه باشد:

::{TEX()} {\forall x:x\in \phi\Rightarrow x\in A} {TEX}::

که چون مقدم این گزاره شرطی نادرست است پس این گزاره شرطی درست خواهد بود و حکم برقرار است.

*~~red:__قضیه2-__~~ هر مجموعه زیرمجموعه خودش است.

~~green:برهان:~~

اثبات به برهان خلف است. فرض می‌کنیم A مجموعه‌ای دلخواه باشد و A زیرمجموعه خودش نباشد یعنی{TEX()} {A\not\subseteq A} {TEX} پس عضوی در A هست که متعلق به A نیست که این بوضوح یک تناقض است. پس فرض خلف باطل و حکم برقرار است.

*__~~red:قضیه3-~~__ رابطه زیرمجموعه بودن دارای خاصیت تعدی است. به بیان دقیق‌تر اگر A وB و C سه مجموعه باشند که{TEX()} {A\subseteq B} {TEX} و {TEX()} {B\subseteq C} {TEX} آنگاه {TEX()} {A\subseteq C} {TEX}

~~green:برهان:~~

برای اثبات کافی است نشان دهیم هر عضو از مجموعه A به مجموعه C نیز متعلق است. برای این کار یک عضو دلخواه و از این پس در سرتاسر اثبات ثابت را در نظر می‌گیریم و نشان میدهیم تعلق این عضو به مجموعه A، تعلق به مجموعه C را نیز ایجاب می کند.

پس فرض می‌کنیم x عضوی دلخواه و از این پس ثابتی از مجموعه A باشد. چون A زیرمجموعه B است داریم:

::{TEX()} {x\in A\Rightarrow x\in B} {TEX}::

و چون B زیرمجموعه C است خواهیم داشت:

::{TEX()} {x\in B\Rightarrow x\in C} {TEX}::

پس x متعلق به مجموعه C نیز می‌باشد و چون x دلخواه اختیار شده بود داریم{TEX()} {\forall x:x\in A\Rightarrow x\in C} {TEX} پس:

::{TEX()} {A\subseteq C} {TEX}::

~~red:مثال:~~ زیرمجموعه‌های مجموعه {TEX()} {\{a,b,c\}} {TEX} را بنویسید.

~~green:پاسخ:~~

::{TEX()} {\phi,\{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\},\{a,b,c\}} {TEX}::

!!یافتن تعداد زیرمجموعه‌ها

*~~red:__قضیه:__~~ تعداد زیرمجموعه‌های k عضوی از یک مجموعه n عضوی {TEX()} {k\le n} {TEX} برابر است با:{TEX()} {n\choose k} {TEX}

~~green:برهان:~~

برای یافتن تعداد زیرمجموعه‌های k عضوی یک مجموعه n عضوی کافی است تعداد حالات ممکن برای انتخاب k عضو از میان n عضو مجموعه را بیابیم و چون در مجموعه‌ها ترتیب اهمیت ندارد تعداد حالات ممکن برابر است با ترکیب k عضو از n عضو یا برابر است با {TEX()} {n\choose k} {TEX}

*~~red:__قضیه:__~~ تعداد زیرمجموعه‌های یک مجموعه n عضوی برابر است با {TEX()} {2^n} {TEX}

~~green:برهان:~~

واضح است که تعداد زیرمجموعه‌های یک مجموعه n عضوی برابر است با تعداد کل زیرمجموعه‌های تک عضوی بعلاوه تعداد زیرمجموعه‌های 2 عضوی تا زیرمجموعه‌های n عضوی بعلاوه یک برای مجموعه تهی. پس بنا به قضیه قبل تعداد کل زیرمجموعه‌های یک مجموعه n عضوی برابر است با:

::{TEX()} {{n\choose 0} + {n\choose 1} + {n\choose 2} + ... + {n\choose n}} {TEX}::

که حاصل عبارت فوق برابر است با مجموعه ضرایب بسط دوجمله‌ای نیوتن{TEX()} {(a+b)^n} {TEX}که برابر است با:

::{TEX()} {(1+1)^n=2^n} {TEX}::

!مجموعه مجموعه‌ها و مجموعه توانی

اگر هر عضو مجموعه A خود یک مجموعه باشد، A را مجموعه مجموعه‌ها یا دسته‌ای از مجموعه‌ها می‌گوییم.

~~red:__مجموعه توانی:__~~

اگر A یک مجموعه باشد آنگاه مجموعه همه زیرمجموعه‌های مجموعه A را مجموعه توانی (Power set) مجموعه A می‌گوییم و آن را با {TEX()} {P(A)} {TEX} نشان می‌دهیم. یعنی:

::{TEX()} {P(A)=\{X|X\subseteq A\}} {TEX}::

!!قضایا

*قضیه5- برای هر مجموعه A داریم:

**{TEX()} {P(A)\ne \phi} {TEX}

**{TEX()} {\phi \in P(A)} {TEX}

** {TEX()} {A\in P(A)} {TEX}

اثبات قضایای فوق بدیهی است.

*اگر A دارای n عضو باشد مجموعه توانی A دارای دقیقاً {TEX()} {2^n} {TEX} عضو است.

---

!همچنین ببینید

*((نظریه مجموعه‌ها))

*((جبر مجموعه‌ها))