تاریخچه ی:
مثلث خیام پاسکال
تفاوت با نگارش: 1
| | ||V{maketoc}|| | | ||V{maketoc}|| |
| - | ||__~~navy:@#13::: این مطلب از بخش آموزش وب‌سایت المپیاد یی رشد،انتخاب شده که با فرمت pdf نیز در [http://olympiad.roshd.ir|وب‌سایت المپیاد رشد]موجود می‌باشد. برای مشاهده این موضوعات در وب‌سایت المپیاد، به آدرس [http://olympiad.roshd.ir/computercontentlist.html|فهرست مطالب کامپیوتر] مراجعه کنید. همچنین می‌توانید با کلیک ((مطالب علمی سایت المپیاد رشد|اینجا)) ، با ویژگی‌های بخش آموزش این وب‌سایت آشنا شوید.:: #@~~__|| |
+ | ||__~~navy:@#13::: این مطلب از بخش آموزش وب‌سایت المپیاد کمپیو رشد،انتخاب شده که با فرمت pdf نیز در [http://olympiad.roshd.ir|وب‌سایت المپیاد رشد]موجود می‌باشد. برای مشاهده این موضوعات در وب‌سایت المپیاد، به آدرس [http://olympiad.roshd.ir/computercontentlist.html|فهرست مطالب کامپیوتر] مراجعه کنید. همچنین می‌توانید با کلیک ((مطالب علمی سایت المپیاد رشد|اینجا)) ، با ویژگی‌های بخش آموزش این وب‌سایت آشنا شوید.:: #@~~__|| |
| | ^@#16: | | ^@#16: |
| | !مثلث خیام پاسکال | | !مثلث خیام پاسکال |
| | می‌خواهیم ضریب {TEX()} {x^ky^{n-k}} {TEX} را در بسط {TEX()} {(x+y)^n} {TEX} بدست بیاوریم. | | می‌خواهیم ضریب {TEX()} {x^ky^{n-k}} {TEX} را در بسط {TEX()} {(x+y)^n} {TEX} بدست بیاوریم. |
| | همان‌طور که می‌دانیم: | | همان‌طور که می‌دانیم: |
| | @@{picture=img/daneshnameh_up/0/07/com0017a.jpg}@@ | | @@{picture=img/daneshnameh_up/0/07/com0017a.jpg}@@ |
| | که از هر پرانتز {TEX()} {x} {TEX}یا {TEX()} {y} {TEX}انتخاب می‌شود و در بقیه ضرب می‌شود. | | که از هر پرانتز {TEX()} {x} {TEX}یا {TEX()} {y} {TEX}انتخاب می‌شود و در بقیه ضرب می‌شود. |
| - | حال ضریب {TEX()} {x^ky^{n-k}} {TEX} یعنی تعداد حالاتی که از {TEX()} {k} {TEX}پرانتز {TEX()} {x} {TEX}و از{TEX()} { (n – k) } {TEX}پرانتز دیگر {TEX()} {y} {TEX}انتخاب شود و این یعنی {TEX()} {n\choose k} {TEX}. پس ضریب جملة {TEX()} {x^ky^{n-k}} {TEX} در بسط فوق {TEX()} {{n\choose {n-k}}={n\choose k}} {TEX} می‌باشد. |
+ | حال ضریب {TEX()} {x^ky^{n-k}} {TEX} یعنی تعداد حالاتی که از {TEX()} {k} {TEX}پرانتز {TEX()} {x} {TEX}و از{TEX()} { (n – k) } {TEX}پرانتز دیگر {TEX()} {y} {TEX}انتخاب شود و این یعنی {TEX()} {n\choose k} {TEX}. پس ضریب جمله {TEX()} {x^ky^{n-k}} {TEX} در بسط فوق {TEX()} {{n\choose {n-k}}={n\choose k}} {TEX} می‌باشد. |
| | __یاد آوری.__ | | __یاد آوری.__ |
| | انتخاب {TEX()} {k} {TEX}از {TEX()} {n} {TEX}که با {TEX()} {n\choose k} {TEX} نشان می‌دهند با{TEX()} { C(n , k)} {TEX} و {TEX()} {C_k^n} {TEX} نیز نمایش می‌دهند. | | انتخاب {TEX()} {k} {TEX}از {TEX()} {n} {TEX}که با {TEX()} {n\choose k} {TEX} نشان می‌دهند با{TEX()} { C(n , k)} {TEX} و {TEX()} {C_k^n} {TEX} نیز نمایش می‌دهند. |
| | @@{TEX()} {C_k^n=C(n,k)={n\choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}} {TEX}@@ | | @@{TEX()} {C_k^n=C(n,k)={n\choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}} {TEX}@@ |
| | --- | | --- |
| | !!مثال | | !!مثال |
| - | ضریب {TEX()} {x^3} {TEX} در بسط {TEX()} {(x-1)^{10}} {TEX} چند می‌باشد. |
+ | ضریب {TEX()} {x^3} {TEX} در ((بسط)) {TEX()} {(x-1)^{10}} {TEX} چند می‌باشد. |
| | __حل.__ | | __حل.__ |
| | چون {TEX()} { y = -1} {TEX} می‌باشد، و ضریب {TEX()} {x^3y^7} {TEX} برابر با {TEX()} {10\choose 3} {TEX} است از طرفی {TEX()} {y^7=-1} {TEX} پس ضریب {TEX()} {x^3} {TEX} برابر است با {TEX()} {{10\choose 3}y^7=-{10\choose 3}} {TEX} | | چون {TEX()} { y = -1} {TEX} می‌باشد، و ضریب {TEX()} {x^3y^7} {TEX} برابر با {TEX()} {10\choose 3} {TEX} است از طرفی {TEX()} {y^7=-1} {TEX} پس ضریب {TEX()} {x^3} {TEX} برابر است با {TEX()} {{10\choose 3}y^7=-{10\choose 3}} {TEX} |
| | --- | | --- |
| | !!نتیجه | | !!نتیجه |
| | بسط {TEX()} {(x-1)^n} {TEX} و {TEX()} {(x+1)^n} {TEX} را بدست بیاورید. | | بسط {TEX()} {(x-1)^n} {TEX} و {TEX()} {(x+1)^n} {TEX} را بدست بیاورید. |
| | با استدلالی مشابه به روشنی داریم: | | با استدلالی مشابه به روشنی داریم: |
| | @@{TEX()} {(x-1)^n={n\choose n}x^n-{n\choose{n-1}}x^{n-1}+{n\choose{n-2}}x^{n-2}-\cdots+(-1)^nx^0} {TEX}@@ | | @@{TEX()} {(x-1)^n={n\choose n}x^n-{n\choose{n-1}}x^{n-1}+{n\choose{n-2}}x^{n-2}-\cdots+(-1)^nx^0} {TEX}@@ |
| | @@{TEX()} {(x+1)^n={n\choose n}x^n+{n\choose{n-1}}x^{n-1}+{n\choose{n-2}}x^{n-2}+\cdots+nx^1+x^0} {TEX}@@ | | @@{TEX()} {(x+1)^n={n\choose n}x^n+{n\choose{n-1}}x^{n-1}+{n\choose{n-2}}x^{n-2}+\cdots+nx^1+x^0} {TEX}@@ |
| | !مثلث خیام پاسکال | | !مثلث خیام پاسکال |
| | اگر ضرایب {TEX()} {x^k} {TEX} در بسط دوجمله‌ای {TEX()} {(x+1)^n} {TEX} بر حسب مقادیر صعودی {TEX()} {n} {TEX}فهرست شوند به ترتیب زیبای زیر می‌رسیم : | | اگر ضرایب {TEX()} {x^k} {TEX} در بسط دوجمله‌ای {TEX()} {(x+1)^n} {TEX} بر حسب مقادیر صعودی {TEX()} {n} {TEX}فهرست شوند به ترتیب زیبای زیر می‌رسیم : |
| | ::{picture=img/daneshnameh_up/8/87/com0017b.jpg}:: | | ::{picture=img/daneshnameh_up/8/87/com0017b.jpg}:: |
| | که این را الگوی مثلثی خیام _ پاسکال می‌نامند. این الگو علاوه بر نشان دادن ضریب {TEX()} {x^k} {TEX} در {TEX()} {(x+y)^n} {TEX}، دارای خواص جالبی است که آن را با ارزش نموده است. | | که این را الگوی مثلثی خیام _ پاسکال می‌نامند. این الگو علاوه بر نشان دادن ضریب {TEX()} {x^k} {TEX} در {TEX()} {(x+y)^n} {TEX}، دارای خواص جالبی است که آن را با ارزش نموده است. |
| - | __1__.تقارن. علت تقارن سطری هر سطر در آن است که ضریب {TEX()} {x^k} {TEX} در {TEX()} {(x+y)^n} {TEX} معرف {TEX()} {n\choose k} {TEX} می‌باشد و از طرفی {TEX()} {{n\choose k}={n\choose{n-k}}} {TEX} پس ضریب {TEX()} {x^k} {TEX} و {TEX()} {x^{n-k}} {TEX} یکسان می‌باشد.
__2__.درایة سطر {TEX()} {m} {TEX}ام و ستون {TEX()} {l} {TEX}ام معرف {TEX()} {m\choose l} {TEX} می‌باشد که توضیح داده شد. |
+ | __1__.((تقارن)). علت تقارن سطری هر سطر در آن است که ضریب {TEX()} {x^k} {TEX} در {TEX()} {(x+y)^n} {TEX} معرف {TEX()} {n\choose k} {TEX} می‌باشد و از طرفی {TEX()} {{n\choose k}={n\choose{n-k}}} {TEX} پس ضریب {TEX()} {x^k} {TEX} و {TEX()} {x^{n-k}} {TEX} یکسان می‌باشد.
__2__.درایه سطر {TEX()} {m} {TEX}ام و ستون {TEX()} {l} {TEX}ام معرف {TEX()} {m\choose l} {TEX} می‌باشد که توضیح داده شد. |
| | --- | | --- |
| | !قضیه | | !قضیه |
| | @@ {TEX()} {{n\choose r} = {{n-1}\choose {r-1}} +{{n-1}\choose r}} {TEX}@@ | | @@ {TEX()} {{n\choose r} = {{n-1}\choose {r-1}} +{{n-1}\choose r}} {TEX}@@ |
| | __اثبات .__ | | __اثبات .__ |
| - | یک روش اثبات آن از طریق محاسبات ریاضی و رسیدن از یک طرف به طرف دیگر است ولیکن اثبات دیگر آن که زیباتر است و بعداً مفصلاً توضیح داده می‌شود را به اختصار بیان می‌کنیم. {TEX()} {n\choose r} {TEX} معرف تعداد زیر مجموعه‌های {TEX()} { r } {TEX} عضوی از مجموعة اعداد 1 تا {TEX()} {n} {TEX}است که برای انتخاب زیر مجموعه‌های {TEX()} {r} {TEX}عضوی می‌توان به این صورت عمل کرد که عدد 1 را در نظر می‌گیریم تعداد زیر مجموعه‌های {TEX()} {r} {TEX}عضوی‌ای که این عدد را ندارند برابر است با {TEX()} {{n-1}\choose r} {TEX} و تعداد زیرمجموعه‌هایی هم که این عدد را دارند، برابر است با {TEX()} {{n-1}\choose {r-1}} {TEX}، (چرا؟) پس
{TEX()} {{n\choose r} ={{n-1}\choose r}+{{n-1}\choose {r-1}}} {TEX} |
+ | یک روش اثبات آن از طریق محاسبات ریاضی و رسیدن از یک طرف به طرف دیگر است ولیکن اثبات دیگر آن که زیباتر است و بعداً مفصلاً توضیح داده می‌شود را به اختصار بیان می‌کنیم. {TEX()} {n\choose r} {TEX} معرف تعداد ((زیر مجموعه))های {TEX()} { r } {TEX} عضوی از مجموعه اعداد 1 تا {TEX()} {n} {TEX}است که برای انتخاب زیر مجموعه‌های {TEX()} {r} {TEX}عضوی می‌توان به این صورت عمل کرد که عدد 1 را در نظر می‌گیریم تعداد زیر مجموعه‌های {TEX()} {r} {TEX}عضوی‌ای که این عدد را ندارند برابر است با {TEX()} {{n-1}\choose r} {TEX} و تعداد زیرمجموعه‌هایی هم که این عدد را دارند، برابر است با {TEX()} {{n-1}\choose {r-1}} {TEX}، (چرا؟) پس
@@{TEX()} {{n\choose r} ={{n-1}\choose r}+{{n-1}\choose {r-1}}} {TEX}@@ |
| | __3__.چون ثابت کردیم {TEX()} {{n\choose r}={{n-1}\choose r}+{{n-1}\choose {r-1}}} {TEX} نشان داده می‌شود که این مثلث خیام پاسکال به راحتی ساخته می‌شود زیرا هر عنصر آن بجز ستون اول که همگی 1 می‌باشند، برابر است با مجموع عنصر سطر قبل آن در همین ستون با عنصر سطر قبل در ستون قبل به شکل دقت کنید. | | __3__.چون ثابت کردیم {TEX()} {{n\choose r}={{n-1}\choose r}+{{n-1}\choose {r-1}}} {TEX} نشان داده می‌شود که این مثلث خیام پاسکال به راحتی ساخته می‌شود زیرا هر عنصر آن بجز ستون اول که همگی 1 می‌باشند، برابر است با مجموع عنصر سطر قبل آن در همین ستون با عنصر سطر قبل در ستون قبل به شکل دقت کنید. |
| | مثلاً اگر بخواهیم سطر هفتم آن را از روی همین اعداد بدست آوریم، به ترتیب داریم: | | مثلاً اگر بخواهیم سطر هفتم آن را از روی همین اعداد بدست آوریم، به ترتیب داریم: |
| - | {TEX()} {1,1+5=6 , 10+5=15,10+10=20 ,10+5=15,5+1=6,1} {TEX}خیام ریاضی‌دان بزرگ ایرانی و پاسکال دانشمند بزرگ ریاضی و کامپیوتر هر یک جداگانه برای اولین بار این مثلث را معرفی و از آن استفاده نموده‌اند. به همین خاطر به نام این دو ثبت شده است. |
+ | {TEX()} {1,1+5=6 , 10+5=15,10+10=20 ,10+5=15,5+1=6,1} {TEX}((خیام)) ریاضی‌دان بزرگ ایرانی و ((پاسکال)) دانشمند بزرگ ریاضی و کامپیوتر هر یک جداگانه برای اولین بار این ((مثلث)) را معرفی و از آن استفاده نموده‌اند. به همین خاطر به نام این دو ثبت شده است. |
| | --- | | --- |
| | !قضیه | | !قضیه |
| | ثابت کنید | | ثابت کنید |
| | __الف.__{TEX()} {C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+\cdots +C(n,n)=2^n} {TEX} | | __الف.__{TEX()} {C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+\cdots +C(n,n)=2^n} {TEX} |
| | __ب.__ {TEX()} {C(n,0)-C(n,1)+C(n,2)-\cdots +(-1)^nC(n,n)=0} {TEX} | | __ب.__ {TEX()} {C(n,0)-C(n,1)+C(n,2)-\cdots +(-1)^nC(n,n)=0} {TEX} |
| | __اثبات .__ | | __اثبات .__ |
| | اگر در بسط {TEX()} {(x+y)^n} {TEX} قرار دهیم {TEX()} { x = 1} {TEX} و{TEX()} { y = 1} {TEX} داریم | | اگر در بسط {TEX()} {(x+y)^n} {TEX} قرار دهیم {TEX()} { x = 1} {TEX} و{TEX()} { y = 1} {TEX} داریم |
| | @@{TEX()} {2^n=(1+1)^n={n\choose 0}1+{n\choose 2}1+\cdots +{n\choose n}} {TEX}@@ | | @@{TEX()} {2^n=(1+1)^n={n\choose 0}1+{n\choose 2}1+\cdots +{n\choose n}} {TEX}@@ |
| | و اگر در بسط {TEX()} {(x+y)^n} {TEX} قرار دهیم{TEX()} { x = 1 } {TEX} و {TEX()} { y = 1} {TEX} داریم: | | و اگر در بسط {TEX()} {(x+y)^n} {TEX} قرار دهیم{TEX()} { x = 1 } {TEX} و {TEX()} { y = 1} {TEX} داریم: |
| | @@{TEX()} {0^n=(-1+1)^n={n\choose 0}1^n+{n\choose 1}1^{n-1}-{n\choose 2}1^{n-2}(-1)^2+\cdots +{n\choose n}1^0(-1)^n={n\choose 0} – {n\choose 1} + {n\choose 2}+\cdots +(-1)^n{n\choose n}}} {TEX}@@ | | @@{TEX()} {0^n=(-1+1)^n={n\choose 0}1^n+{n\choose 1}1^{n-1}-{n\choose 2}1^{n-2}(-1)^2+\cdots +{n\choose n}1^0(-1)^n={n\choose 0} – {n\choose 1} + {n\choose 2}+\cdots +(-1)^n{n\choose n}}} {TEX}@@ |
| | --- | | --- |
| | ! پیوند های خارجی | | ! پیوند های خارجی |
| | [http://Olympiad.roshd.ir/computer/content/pdf/0025.pdf] | | [http://Olympiad.roshd.ir/computer/content/pdf/0025.pdf] |
| - | |
+ | ---
!همچنین ببینید
*((ترکیب با تکرار ))
*((تناظر بین مسائل و شمارش ))
*((توزیع اشیا )) |
| | #@^ | | #@^ |
