: دنباله‌ها

||هر نگاشت از مجموعه N (یا بخشی از N) در مجموعه R یک دنباله از ((اعداد حقیقی)) است. تصویر عدد صحیح n به وسیله f را جمله عمومی دنباله می‌نامند، و معمولا آن را با {TEX()} {a_n} {TEX} نشان می‌دهند. بنابراین جمله عمومی دنباله بالا عبارت است از {TEX()} {a_n=f(n)} {TEX}. با جمله عمومی {TEX()} {a_n} {TEX} را با {TEX()} {(a_n)} {TEX} نمایش می دهند، و باید بین {TEX()} {a_n} {TEX} و {TEX()} {(a_n)} {TEX} تمایز قایل شد.||

!انواع دنباله‌ها

هر فهرست از اعداد حقیقی مانند

::{TEX()} {a_1,a_2,a_3,...,a_n} {TEX}::

یا

::{TEX()} {a_1,a_2,a_3,...,a_n,...} {TEX}::

را یک دنباله از اعداد حقیقی می‌نامیم. هر {TEX()} {a_k} {TEX} را عضو یا جمله k ام این دنباله می‌گوییم. دنباله اول را ، که دارای تعدادی متناهی عضو است، یک ((سری متناهی|دنباله متناهی)) می‌نامیم. سه نقطه آخر دنباله دوم به این معنی است که این دنباله دارای بی‌نهایت عضو است، چنین دنباله‌ای را یک ((سریهای نامتنهاهی|دنباله نامتناهی)) می‌گوییم. ولی اغلب با دنباله‌های نامتناهی سروکار داریم. از جمله این دنباله‌ها می‌توان به دنباله مجذورات {TEX()} {a_n=n^2} {TEX} ، دنباله تقریبهای اعشاری {TEX()} {\sqrt{2}} {TEX} ({TEX()} {\sqrt{2}} {TEX} تا n رقم اعشاری {TEX()} {a_n=} {TEX}) یا دنباله {TEX()} {a_n=\frac{1}{n}} {TEX} اشاره کرد. ملاحظه می‌کنیم که مفهوم دنباله بسیار کلی است؛ هر فهرست مرتب (بی‌پایان) را می‌توان به عنوان یک دنباله در نظر گرفت. لزومی ندارد که جمله n‌ام یک دنباله با "فرمول خوبی" تعریف شود، بلکه کافی است که مقادیر {TEX()} {a_n} {TEX}‌ها مشخص باشند.

یک دنباله را معمولا وقتی تنها با ذکر چند جمله اول آن نشان می‌دهیم که جمله عمومی آن مشخص باشد. برای مثال ... و 6 و4 و2 داده شده باشد، آنگاه جمله چهارم آن را نمی‌توان تعیین کرد اگر اطلاعات بیشتری در مورد جمله عمومی این دنباله داشته باشیم. اگر ، مثلا ،

::{TEX()} {a_n = 2n + ( 1-n )^3 ( 2-n )^2 ( 3-n )} {TEX}::

آنگاه چهار جمله اول دنباله {TEX()} {(a_n)} {TEX} عبارتند از: 116 و 6 و 4 و 2

ولی اگر {TEX()} {a_n=2n} {TEX} ، آنگاه چهار جمله اول دنباله {TEX()} {(a_n)} {TEX} عبارتند از: 8 و 6 و 4 و 2

پس این دو دنباله باهم متفاوت‌اند.

برخی از ((سری نامتناهی|دنباله‌های نامتناهی)) چون {TEX()} {(a_n)} {TEX} دارای این ویژگی هستند که وقتی n بی‌کران افزایش می‌یابد، جمله‌های آن به عددی چون L نزدیک و نزدیک‌تر می‌شوند. عدد L را حد دنباله {TEX()} {(a_n)} {TEX} می‌نامیم اگر متناظر با هر {TEX()} {\epsilom>0} {TEX} عدد طبیعی چون N وجود داشته باشد بطوری که

اگر {TEX()}{n \ge N} {TEX} ، آنگاه {TEX()} {|a_n-L|<\epsilom} {TEX}

در اینصورت می‌نویسیم:

::{TEX()} {\lim_{n\to\infty}a_n=L} {TEX}::

اگر چنین عدد L ، یعنی {TEX()} {\lim_{n\to\infty}a_n=L} {TEX} وجود داشته باشد، دنباله {TEX()} {(a_n)} {TEX} را ((دنباله همگرا|همگرا)) و در غیر اینصورت آن را ((دنباله واگرا|واگرا)) می‌گوییم.

*اگر {TEX()} {(b_n)} {TEX} ، {TEX()} {(a_n)} {TEX} دو دنباله باشند و {TEX()} {\lim_{n\to\infty}a_n=L} {TEX} و {TEX()} {\lim_{n\to\infty}b_n=M} {TEX} آنگاه:

__الف)__ {TEX()} {\lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)=L+M} {TEX}

__ب)__ {TEX()} {\lim_{n\to\infty}(a_n-b_n)=L-M} {TEX}

__ج)__ {TEX()} {\lim_{n\to\infty}( a_n.b_n)=LM} {TEX}

__د)__ {TEX()} {\lim_{n\to\infty}(\frac{a_n}{b_n})=\frac{L}{M}} {TEX ، مشروط بر اینکه {TEX()} {M\ne 0} {TEX} و به ازای هر n ، {TEX()} {b_n \ne 0} {TEX}.

__ر)__ اگر به ازای هر n ، دنباله {TEX()} {a_n} {TEX} مساوی یک مقدار ثابت C باشد، یعنی {TEX()} {\left(a_n\right)=C,C,C,...,C,...} {TEX} آنگاه {TEX()} {\lim_{n\to\infty}C=C} {TEX}.

__ز: قضیه ساندویچ:__ فرض کنیم {TEX()} {(b_n)} {TEX} ، {TEX()} {(a_n)} {TEX} و {TEX()} {(c_n)} {TEX} سه دنباله باشند بطوری که به ازای هر n ، {TEX()} {a_n \le b_n \le c_n} {TEX}. اگر {TEX()} {\lim_{n\to\infty}a_n=L=\lim_{n\to\infty}c_n} {TEX} آنگاه {TEX()} {\lim_{n\to\infty}b_n=L} {TEX}.

__ژ)__ اگر حد قدرمطلق یک دنباله برابر صفر باشد، آنگاه حد این دنباله نیز صفر است.

!دنباله هندسی

دنباله {TEX()} {(r^n)=r,r^2,r^3,...} {TEX} را یک ((دنباله هندسی)) با قدر نسبت r می‌نامیم.

!دنباله کراندار

دنباله {TEX()} {(a_n)} {TEX} را کراندار می‌گوییم اگر عددی چون M وجود داشته باشد به طوری که به ازای هر n ، {TEX()} {|a_n| \le M} {TEX}.

!!رابطه همگرایی با کراندار بودن

*اگر {TEX()} {(a_n)} {TEX} همگرا باشد، آنگاه {TEX()} {(a_n)} {TEX} کراندار است.

*اگر {TEX()} {(a_n)} {TEX} ((دنباله کراندار|کراندار)) نباشد، آنگاه {TEX()} {(a_n)} {TEX} واگراست.

!دنباله یکنوا

می‌گویند دنباله {TEX()} {(a_n)} {TEX} صعودی یا نزولی یکنواست، هرگاه برای هر عدد صحیح n داشته باشیم {TEX()} {a_n+1 \ge a_n} {TEX} یا {TEX()} {a_n+1 \le a_n} {TEX} ((دنباله یکنوا|دنباله یکنوای)) {TEX()} {(a_n)} {TEX} را در نظر می‌گیریم. هر دنباله صعودی که از سوی بالا کراندار باشد، همگراست، و هر دنباله نزولی که از سوی پایین کراندار باشد، همگراست.

!مباحث مرتبط با عنوان

*((حد دنباله))

*((دنباله حسابی))

*((دنباله هندسی))

*((دنباله همگرا))

*((دنباله واگرا))

*((دنباله یکنوا))

*((دنباله کراندار))

*((سری متناهی))

*((سری نامتناهی))

*((قضیه ساندویچ))

*((مشتق دنباله))