تاریخچه ی:
حل روابط بازگشتی همگن
تفاوت با نگارش: 1
| ||V{maketoc}|| | | ||V{maketoc}|| |
- | ||__~~navy:@#13::: این مطلب از بخش آموزش وبسایت المپیاد یی رشد،انتخاب شده که با فرمت pdf نیز در [http://olympiad.roshd.ir|وبسایت المپیاد رشد]موجود میباشد. برای مشاهده این موضوعات در وبسایت المپیاد، به آدرس [http://olympiad.roshd.ir/computercontentlist.html|فهرست مطالب کامپیوتر] مراجعه کنید. همچنین میتوانید با کلیک ((مطالب علمی سایت المپیاد رشد|اینجا)) ، با ویژگیهای بخش آموزش این وبسایت آشنا شوید.:: #@~~__|| |
+ | ||__~~navy:@#13::: این مطلب از بخش آموزش وبسایت المپیاد کمپیو رشد،انتخاب شده که با فرمت pdf نیز در [http://olympiad.roshd.ir|وبسایت المپیاد رشد]موجود میباشد. برای مشاهده این موضوعات در وبسایت المپیاد، به آدرس [http://olympiad.roshd.ir/computercontentlist.html|فهرست مطالب کامپیوتر] مراجعه کنید. همچنین میتوانید با کلیک ((مطالب علمی سایت المپیاد رشد|اینجا)) ، با ویژگیهای بخش آموزش این وبسایت آشنا شوید.:: #@~~__|| |
| ^@#16: | | ^@#16: |
| !حل روابط بازگشتی همگن | | !حل روابط بازگشتی همگن |
| !!تعریف روابط بازگشتی همگن | | !!تعریف روابط بازگشتی همگن |
- | اگر {TEX()} {c_i} {TEX}ها عددهایی حقیقی باشند، به رابطة بازگشتی زیر رابطة بازگشتی همگن از درجة {TEX()} {k} {TEX}میگویند: |
+ | اگر {TEX()} {c_i} {TEX}ها عددهایی حقیقی باشند، به ((رابطه بازگشتی)) زیر رابطه بازگشتی همگن از درجه {TEX()} {k} {TEX}میگویند: |
| @@(1) ~~white:---------~~ {TEX()} { a_n = c_1 a_{n -1} + c_2¬ a_{n -2} + \cdots + c_k a_{n -k} } {TEX} @@ | | @@(1) ~~white:---------~~ {TEX()} { a_n = c_1 a_{n -1} + c_2¬ a_{n -2} + \cdots + c_k a_{n -k} } {TEX} @@ |
- | در این رابطه {TEX()} {a_n} {TEX}بر حسب {TEX()} {k} {TEX}جملة قبل آن داده شده است و برای ساخت دنباله به {TEX()} {k} {TEX}جملة اول آن احتیاج داریم. تابع{TEX()} { g(n) } {TEX} را یک جواب دنبالة بازگشتی فوق مینامند، اگر دنبالة{TEX()} { a_n = g(n) } {TEX} {TEX()} {(n\in N)} {TEX} در رابطة بازگشتی صدق کند. |
+ | در این رابطه {TEX()} {a_n} {TEX}بر حسب {TEX()} {k} {TEX}جمله قبل آن داده شده است و برای ساخت دنباله به {TEX()} {k} {TEX}جمله اول آن احتیاج داریم. تابع{TEX()} { g(n) } {TEX} را یک جواب ((دنباله بازگشتی)) فوق مینامند، اگر دنباله{TEX()} { a_n = g(n) } {TEX} {TEX()} {(n\in N)} {TEX} در رابطه بازگشتی صدق کند. |
| --- | | --- |
- | !!قضیة 1 (اصل برهمنهی) |
+ | !!قضیه 1 (اصل برهمنهی) |
| اگر {TEX()} {r} {TEX}تابع {TEX()} { g_1(n)} {TEX} تا {TEX()} { g_r(n) } {TEX} جوابی برای | | اگر {TEX()} {r} {TEX}تابع {TEX()} { g_1(n)} {TEX} تا {TEX()} { g_r(n) } {TEX} جوابی برای |
| @@(2) ~~white:----------~~ {TEX()} { a_n = c_1 a_{n -1} + c_2¬ a_{n -2} + \cdots + c_k a_{n - k} + f_i(n)} {TEX} @@ | | @@(2) ~~white:----------~~ {TEX()} { a_n = c_1 a_{n -1} + c_2¬ a_{n -2} + \cdots + c_k a_{n - k} + f_i(n)} {TEX} @@ |
- | باشند، آنگاه هر ترکیب خطی از این {TEX()} {k} {TEX}جواب به صورت{TEX()} { A_1 g_1 (n) + A_2 g_2(n) + \cdots + A_r g_r(n) } {TEX} که در آن {TEX()} {A_i} {TEX}ها اعدادی حقیقیاند پاسخی برای رابطة بازگشتی شمارة (2) است. به ویژه، چون در روابط بازگشتی همگن{TEX()} { f_i(n) = 0 } {TEX} هر ترکیب خطی جوابهای یک رابطة بازگشتی همگن باز یک جواب همان رابطة بازگشتی است. |
+ | باشند، آنگاه هر ترکیب خطی از این {TEX()} {k} {TEX}جواب به صورت{TEX()} { A_1 g_1 (n) + A_2 g_2(n) + \cdots + A_r g_r(n) } {TEX} که در آن {TEX()} {A_i} {TEX}ها اعدادی حقیقیاند پاسخی برای رابطه بازگشتی شماره (2) است. به ویژه، چون در روابط بازگشتی همگن{TEX()} { f_i(n) = 0 } {TEX} هر ترکیب خطی جوابهای یک رابطه بازگشتی همگن باز یک جواب همان رابطه بازگشتی است. |
| __اثبات .__ | | __اثبات .__ |
| فرض کنیم: | | فرض کنیم: |
| @@{TEX()} { h(n) = A_1 g_1(n) + A_2 g_2(n) + \cdots + A_rg_r(n)} {TEX}@@ | | @@{TEX()} { h(n) = A_1 g_1(n) + A_2 g_2(n) + \cdots + A_rg_r(n)} {TEX}@@ |
- | {TEX()} { g_i(n) } {TEX} یک جواب معادلة زیر است: |
+ | {TEX()} { g_i(n) } {TEX} یک جواب ((معادله)) زیر است: |
| @@{TEX()} {a_n=c_1a_{n-1}+c_2a_{n-2}+\cdots +c_ka_{n-k}+f_i(n)} {TEX}@@ | | @@{TEX()} {a_n=c_1a_{n-1}+c_2a_{n-2}+\cdots +c_ka_{n-k}+f_i(n)} {TEX}@@ |
| پس داریم: | | پس داریم: |
| @@{TEX()} {g_i(n)=c_1g_i(n-1)+c_2g_i(n-2)+\cdots +c_kg_i(n-k)+f_i(n)} {TEX}@@ | | @@{TEX()} {g_i(n)=c_1g_i(n-1)+c_2g_i(n-2)+\cdots +c_kg_i(n-k)+f_i(n)} {TEX}@@ |
| و نتیجه میشود: | | و نتیجه میشود: |
| @@{TEX()} { h(n) = c_1 h(n -1) + c_2 h(n -2) + \cdots + c_k h(n -k) + A_1 f_1(n) + \cdots + A_r f_r(n) } {TEX}@@ | | @@{TEX()} { h(n) = c_1 h(n -1) + c_2 h(n -2) + \cdots + c_k h(n -k) + A_1 f_1(n) + \cdots + A_r f_r(n) } {TEX}@@ |
| --- | | --- |
| !!حل روابط بازگشتی همگن | | !!حل روابط بازگشتی همگن |
- | روابط بازگشتی همگن حل سادهای دارند که بدین صورت است: اگر{TEX()} { g(n) = x^n ،} {TEX} جواب رابطة بازگشتی همگن شمارة (1) باشد، داریم: |
+ | روابط بازگشتی همگن حل سادهای دارند که بدین صورت است: اگر{TEX()} { g(n) = x^n ،} {TEX} جواب رابطه بازگشتی همگن شماره (1) باشد، داریم: |
| @@{TEX()} { x^n – c_1 x^{n -1} – c_2 x^{n -2} - \cdots - c_k x^{n -k} = 0} {TEX}@@ | | @@{TEX()} { x^n – c_1 x^{n -1} – c_2 x^{n -2} - \cdots - c_k x^{n -k} = 0} {TEX}@@ |
| یا به عبارت دیگر: | | یا به عبارت دیگر: |
| @@(3)~~white:----------- ~~{TEX()} {x^k-c_1x^{k-1}-\cdots – c_k=0} {TEX}@@ | | @@(3)~~white:----------- ~~{TEX()} {x^k-c_1x^{k-1}-\cdots – c_k=0} {TEX}@@ |
- | یعنی {TEX()} {x} {TEX}جواب معادله درجه {TEX()} {k} {TEX}فوق است. این معادله را معادلة سرشتنما یا معادلة متشکله رابطة بازگشتی مینامیم. اگر {TEX()} {x_i} {TEX}ریشة معادلة سرشتنما باشد، بدیهی است که {TEX()} {a_n=x_i^n} {TEX} یک جواب رابطه بازگشتی است و بنا بر قضیه ی قبلی هر ترکیب خطی از {TEX()} {x_i^n} {TEX} ها هم یک جواب رابطه ی بازگشتی است. ضمناً این جوابها پایهای برای مجموعه جواب این رابطه میباشند.البته چگونگی تحقیق این مطلب به مقدماتی از جبر خطی احتیاج دارد که به عهدة شما خواهد بود. با اثبات این مطلب میتوان گفت: تمام جوابهای رابطه (1) به صورت ترکیبی خطی از {TEX()} {x_i^n} {TEX}ها است. (چگونگی اثبات را تحقیق کنید) به طور مثال ترکیب خطی: |
+ | یعنی {TEX()} {x} {TEX}جواب معادله درجه {TEX()} {k} {TEX}فوق است. این معادله را معادله سرشتنما یا معادله متشکله رابطه بازگشتی مینامیم. اگر {TEX()} {x_i} {TEX}ریشه معادله سرشتنما باشد، بدیهی است که {TEX()} {a_n=x_i^n} {TEX} یک جواب رابطه بازگشتی است و بنا بر قضیه ی قبلی هر ترکیب خطی از {TEX()} {x_i^n} {TEX} ها هم یک جواب رابطه ی بازگشتی است. ضمناً این جوابها پایهای برای مجموعه جواب این رابطه میباشند.البته چگونگی تحقیق این مطلب به مقدماتی از ((جبر خطی)) احتیاج دارد که به عهده شما خواهد بود. با اثبات این مطلب میتوان گفت: تمام جوابهای رابطه (1) به صورت ترکیبی خطی از {TEX()} {x_i^n} {TEX}ها است. (چگونگی اثبات را تحقیق کنید) به طور مثال ترکیب خطی: |
| @@(4) ~~white:----------~~ {TEX()} {a_n=t_1x_1^n+t_2x_2^n+\cdots +t_kx_k^n} {TEX}@@ | | @@(4) ~~white:----------~~ {TEX()} {a_n=t_1x_1^n+t_2x_2^n+\cdots +t_kx_k^n} {TEX}@@ |
- | را در نظر میگیریم. اگر در این صورت رابطة بازگشتی {TEX()} {k} {TEX}عنصر اول این دنباله داده شده باشند، باید {TEX()} {k} {TEX}معادلة زیر برقرار باشد: |
+ | را در نظر میگیریم. اگر در این صورت رابطه بازگشتی {TEX()} {k} {TEX}عنصر اول این دنباله داده شده باشند، باید {TEX()} {k} {TEX}معادله زیر برقرار باشد: |
| @@ {picture=img/daneshnameh_up/3/3b/com0029a.jpg}@@ | | @@ {picture=img/daneshnameh_up/3/3b/com0029a.jpg}@@ |
- | این یک دستگاه {TEX()} {k} {TEX}معادله و {TEX()} {k} {TEX}مجهول میباشد. (مجهولها {TEX()} {t_1} {TEX}تا {TEX()} {t_k} {TEX}هستند.) با توجه به تشکیل دترمینان ضرایب، این نتیجه به دست میآید که اگر{TEX()} {x_i} {TEX}ها متمایز باشند این دستگاه معادلات یک جواب منحصر به فرد دارد، یعنی با دادن {TEX()} {k} {TEX}عنصراول دنباله، میتوان جوابی منحصر به فرد برای دنباله پیدا کرد. (تحقیق کنید چرا در صورت متمایز بودن{TEX()} {x_i} {TEX}ها این دستگاه معادلات یک جواب منحصر به فرد دارد! برای این کار باید دترمینان ماتریس ضرایب را تشکیل دهیم.) |
+ | این یک دستگاه {TEX()} {k} {TEX}معادله و {TEX()} {k} {TEX}مجهول میباشد. (مجهولها {TEX()} {t_1} {TEX}تا {TEX()} {t_k} {TEX}هستند.) با توجه به تشکیل ((دترمینان)) ضرایب، این نتیجه به دست میآید که اگر{TEX()} {x_i} {TEX}ها متمایز باشند این دستگاه معادلات یک جواب منحصر به فرد دارد، یعنی با دادن {TEX()} {k} {TEX}عنصراول دنباله، میتوان جوابی منحصر به فرد برای دنباله پیدا کرد. (تحقیق کنید چرا در صورت متمایز بودن{TEX()} {x_i} {TEX}ها این دستگاه معادلات یک جواب منحصر به فرد دارد! برای این کار باید دترمینان ((ماتریس ضرایب)) را تشکیل دهیم.) |
| --- | | --- |
| !!مثال | | !!مثال |
- | دنبالة فیبوناچی که در مثالهای قبل تعریف شده است، را حل کنید. دنبالة فیبوناچی : {TEX()} { F_n = F_{n -1} + F_{n -2} } {TEX} در حالی که{TEX()} { F_1 = F_2 = 1} {TEX} . |
+ | ((دنباله فیبوناچی)) که در مثالهای قبل تعریف شده است، را حل کنید. دنباله فیبوناچی : {TEX()} { F_n = F_{n -1} + F_{n -2} } {TEX} در حالی که{TEX()} { F_1 = F_2 = 1} {TEX} . |
| __حل__ | | __حل__ |
- | معادلة سرشتنمای این رابطه به صورت{TEX()} { x^2 -x -1 = 0 } {TEX}است و ریشههای آن {TEX()} {x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}} {TEX} و {TEX()} {x_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}} {TEX} است. پس: |
+ | معادله سرشتنمای این رابطه به صورت{TEX()} { x^2 -x -1 = 0 } {TEX}است و ریشههای آن {TEX()} {x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}} {TEX} و {TEX()} {x_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}} {TEX} است. پس: |
| @@{TEX()} {f_n=t_1 \Big( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \Big)^n +t_2 \Big( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \Big)^n} {TEX}@@ | | @@{TEX()} {f_n=t_1 \Big( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \Big)^n +t_2 \Big( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \Big)^n} {TEX}@@ |
| و با توجه به مقادیر اولیه داریم: | | و با توجه به مقادیر اولیه داریم: |
| @@ {picture=img/daneshnameh_up/7/78/com0029b.jpg}@@ | | @@ {picture=img/daneshnameh_up/7/78/com0029b.jpg}@@ |
| و از این معادلهها نتیجه میشود: | | و از این معادلهها نتیجه میشود: |
| @@{TEX()} {t_1=\frac{1}{\sqrt{5}} \quad , \quad t_2 =- \frac{1}{\sqrt{5}}} {TEX}@@ | | @@{TEX()} {t_1=\frac{1}{\sqrt{5}} \quad , \quad t_2 =- \frac{1}{\sqrt{5}}} {TEX}@@ |
| @@ (5) ~~white:-----------~~ {TEX()} {f_n=\frac{1}{\sqrt{5}} \Big( \big(\frac{1+\sqrt{5}}{2} \big)^n - \big( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \big)^n \Big)} {TEX}@@ | | @@ (5) ~~white:-----------~~ {TEX()} {f_n=\frac{1}{\sqrt{5}} \Big( \big(\frac{1+\sqrt{5}}{2} \big)^n - \big( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \big)^n \Big)} {TEX}@@ |
- | قابل توجه است، جملة {TEX()} {\Big( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \Big)^n} {TEX} با بزرگتر شدن {TEX()} {n} {TEX}بسیار کوچک میشود و با توجه به اینکه {TEX()} {f_n} {TEX}عددی حسابی است، اگر {TEX()} {(x)} {TEX}را نزدیکترین عدد صحیح به {TEX()} {x} {TEX}تعریف کنیم، داریم: |
+ | قابل توجه است، جمله {TEX()} {\Big( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \Big)^n} {TEX} با بزرگتر شدن {TEX()} {n} {TEX}بسیار کوچک میشود و با توجه به اینکه {TEX()} {f_n} {TEX}عددی حسابی است، اگر {TEX()} {(x)} {TEX}را نزدیکترین عدد صحیح به {TEX()} {x} {TEX}تعریف کنیم، داریم: |
| @@{TEX()} {(x)=\big[x+ \frac{1}{2} \big]} {TEX}@@ | | @@{TEX()} {(x)=\big[x+ \frac{1}{2} \big]} {TEX}@@ |
| و با این تعریف: | | و با این تعریف: |
| @@(6) ~~white:---------- ~~{TEX()} {f_n=\Big\langle \frac{1}{\sqrt{5}} \Big( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \Big)^n \Big\rangle} {TEX}@@ | | @@(6) ~~white:---------- ~~{TEX()} {f_n=\Big\langle \frac{1}{\sqrt{5}} \Big( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \Big)^n \Big\rangle} {TEX}@@ |
- | در یافتن جوابهای دستگاه به دست آمده برای یافتن ضرایب، این شرط را قرار دادیم که {TEX()} {x_i} {TEX}ها متمایز باشند. حال اگر {TEX()} {x_i} {TEX}ریشة مضاعف درجة 2 معادلة سرشتنما باشد، به راحتی قابل تحقیق است که {TEX()} {a_n=nx_i^n} {TEX} نیز یک جواب رابطة بازگشتی است (اثبات با مشتقگیری از معادلة سرشتنما است، به این وسیله که ریشة مضاعف، ریشة مشتق معادلة سرشتنما است.) به همین طریق میتوان استدلال کرد که اگر {TEX()} {x_i} {TEX}ریشة مضاعف درجة 3 باشد، {TEX()} {n^2x_i^n} {TEX} نیز یک جواب رابطة بازگشتی است. در حالت کلی اگر {TEX()} {x_i} {TEX}ریشة مضاعف درجه {TEX()} {p} {TEX}باشد: |
+ | در یافتن جوابهای دستگاه به دست آمده برای یافتن ضرایب، این شرط را قرار دادیم که {TEX()} {x_i} {TEX}ها متمایز باشند. حال اگر {TEX()} {x_i} {TEX}ریشه مضاعف درجه 2 معادله سرشتنما باشد، به راحتی قابل تحقیق است که {TEX()} {a_n=nx_i^n} {TEX} نیز یک جواب رابطه بازگشتی است (اثبات با مشتقگیری از معادله سرشتنما است، به این وسیله که ((ریشه مضاعف))، ریشه مشتق معادله سرشتنما است.) به همین طریق میتوان استدلال کرد که اگر {TEX()} {x_i} {TEX}ریشه مضاعف درجه 3 باشد، {TEX()} {n^2x_i^n} {TEX} نیز یک جواب رابطه بازگشتی است. در حالت کلی اگر {TEX()} {x_i} {TEX}ریشه مضاعف درجه {TEX()} {p} {TEX}باشد: |
| @@{TEX()} { g(n) = t_0 x^n + t_1 nx^n + t_2 n^2 x^n + \cdots + t_{p -1} n^{p -1} x^n } {TEX}@@ | | @@{TEX()} { g(n) = t_0 x^n + t_1 nx^n + t_2 n^2 x^n + \cdots + t_{p -1} n^{p -1} x^n } {TEX}@@ |
- | جوابی برای رابطة بازگشتی است. |
+ | جوابی برای ((رابطه بازگشتی)) است. |
| --- | | --- |
| !!مثال | | !!مثال |
- | رابطة بازگشتی زیر را حل کنید: |
+ | رابطه بازگشتی زیر را حل کنید: |
| @@{TEX()} { A_n = -a_{n -1} + 3a_{n -2} + 5a_{n -2} + 2a_{n -3} \qquad (n \ge 5 )} {TEX}@@ | | @@{TEX()} { A_n = -a_{n -1} + 3a_{n -2} + 5a_{n -2} + 2a_{n -3} \qquad (n \ge 5 )} {TEX}@@ |
| __حل .__ | | __حل .__ |
| ریشههای معادله سرشتنما به صورت زیر است: | | ریشههای معادله سرشتنما به صورت زیر است: |
| @@{TEX()} { x^4 + x^3 -3x^2 -5x -2 = 0} {TEX}@@ | | @@{TEX()} { x^4 + x^3 -3x^2 -5x -2 = 0} {TEX}@@ |
| @@{TEX()} { \ \Rightarrow \ a_n=t_1(-1)^n+t_3n^2(-1)^n+t_4 2^n} {TEX}@@ | | @@{TEX()} { \ \Rightarrow \ a_n=t_1(-1)^n+t_3n^2(-1)^n+t_4 2^n} {TEX}@@ |
| , و با معلوم بودن {TEX()} {a_1} {TEX}تا {TEX()} {a_4} {TEX}مقادیر {TEX()} {t_1} {TEX}تا {TEX()} {t_4} {TEX}به دست میآیند. مثلاً در حالت{TEX()} { a_1 = 4 } {TEX} و{TEX()} { a_2 = -3} {TEX} و{TEX()} { a_3 = 22 } {TEX}و{TEX()} { a_4 = -7 } {TEX} از دستگاههای متناظر جوابهای{TEX()} { t_1 = -t_3 = 1} {TEX} و {TEX()} { t_4 = -t_2 = 2} {TEX} به دست میآیند. | | , و با معلوم بودن {TEX()} {a_1} {TEX}تا {TEX()} {a_4} {TEX}مقادیر {TEX()} {t_1} {TEX}تا {TEX()} {t_4} {TEX}به دست میآیند. مثلاً در حالت{TEX()} { a_1 = 4 } {TEX} و{TEX()} { a_2 = -3} {TEX} و{TEX()} { a_3 = 22 } {TEX}و{TEX()} { a_4 = -7 } {TEX} از دستگاههای متناظر جوابهای{TEX()} { t_1 = -t_3 = 1} {TEX} و {TEX()} { t_4 = -t_2 = 2} {TEX} به دست میآیند. |
- | مثال بعد، حالتی را بررسی میکند که در آن معادلة سرشتنما ریشة حقیقی ندارد. |
+ | مثال بعد، حالتی را بررسی میکند که در آن معادله سرشتنما ریشه حقیقی ندارد. |
| --- | | --- |
| !!مثال | | !!مثال |
- | رابطة بازگشتی{TEX()} { a_n = 2a_{n -1} – 2a_{n -2} } {TEX} را حل کنید{TEX()} { (a_0 = 1 , a_1 = 0) } {TEX} . |
+ | رابطه بازگشتی{TEX()} { a_n = 2a_{n -1} – 2a_{n -2} } {TEX} را حل کنید{TEX()} { (a_0 = 1 , a_1 = 0) } {TEX} . |
| __حل. __ | | __حل. __ |
- | معادلة سرشتنما به صورت x^2 -2x + 2 = 0 است که جواب غیرحقیقی زیر را دارد: {TEX()} {\overline{\alpha}=1-t \ , \ \alpha=1+i} {TEX} . پس داریم: |
+ | معادله سرشتنما به صورت{TEX()} {x^2 -2x + 2 = 0} {TEX} است که جواب غیرحقیقی زیر را دارد: {TEX()} {\overline{\alpha}=1-t \ , \ \alpha=1+i} {TEX} . پس داریم: |
| @@{picture=img/daneshnameh_up/7/76/com0029c.jpg}@@ | | @@{picture=img/daneshnameh_up/7/76/com0029c.jpg}@@ |
| @@{TEX()} {\Rightarrow \ a_n=A {\alpha}^n+B \overline{\alpha}^n} {TEX}@@ | | @@{TEX()} {\Rightarrow \ a_n=A {\alpha}^n+B \overline{\alpha}^n} {TEX}@@ |
| @@{TEX()} {=(\sqrt{2})^2 \Big[ A \big( cos \big( \frac{n \pi}{4} \big)+i \ sin \big( \frac{n \pi}{4} \big) \big) \Big]+(\sqrt{2})^2 \Big[ B \big( cos \big( \frac{n \pi}{4} \big)-i \ sin \big( \frac{n \pi}{4} \big) \big) \Big]} {TEX}@@ | | @@{TEX()} {=(\sqrt{2})^2 \Big[ A \big( cos \big( \frac{n \pi}{4} \big)+i \ sin \big( \frac{n \pi}{4} \big) \big) \Big]+(\sqrt{2})^2 \Big[ B \big( cos \big( \frac{n \pi}{4} \big)-i \ sin \big( \frac{n \pi}{4} \big) \big) \Big]} {TEX}@@ |
| @@{TEX()} { \ \Rightarrow a_n=\sqrt{2} \big(C \ cos \big( \frac{n \pi}{4} \big)+D \ sin \big( \frac{n \pi}{4} \big) \big)} {TEX}@@ | | @@{TEX()} { \ \Rightarrow a_n=\sqrt{2} \big(C \ cos \big( \frac{n \pi}{4} \big)+D \ sin \big( \frac{n \pi}{4} \big) \big)} {TEX}@@ |
- | لازم به تذکر است در این معادلات از رابطة مهم زیر استفاده شده است که با استفاده از استقرا ثابت میشود. |
+ | لازم به تذکر است در این ((معادلات)) از رابطه مهم زیر استفاده شده است که با استفاده از ((استقرا)) ثابت میشود. |
| @@{TEX()} {(cos \theta + i \ sin \theta)^n=cos (n\theta)+i \ sin (n \theta)} {TEX}@@ | | @@{TEX()} {(cos \theta + i \ sin \theta)^n=cos (n\theta)+i \ sin (n \theta)} {TEX}@@ |
| --- | | --- |
| ! پیوند های خارجی | | ! پیوند های خارجی |
| [http://Olympiad.roshd.ir/computer/content/pdf/0048.pdf] | | [http://Olympiad.roshd.ir/computer/content/pdf/0048.pdf] |
- | |
+ | --- !همچنین ببینید *((حل روابط بازگشتی ناهمگن )) *((روابط بازگشتی اولیه )) |
| #@^ | | #@^ |