منو
 صفحه های تصادفی
ژرمانیت
پایداری رادیکالهای آزاد آلکانها
صفحه عکاسی
عمر بن مسعود
Americium
تحولات ستاره
دانشکده علوم دانشگاه شهید بهشتی
EPS
دانشکده‌ علوم اجتماعی دانشگاه تهران
شاخه های مختلف علوم اجتماعی
 کاربر Online
560 کاربر online

کنج فرنه

تازه کردن چاپ
علوم ریاضی > ریاضی > هندسه
(cached)

کنج فرنه
به هر نقطه یک منحنی پارامتری از کلاس C2 یک سه تایی متعامد یکه از بردارهای یکه مربوط می شود که عبارتند از بردار مماس t، بردار قائم اصلی n و بردار قائم دوم b.
بردار قائم اصلی n : در نقطه P بردار یکه قائم اصلی است یعنی آن قائم به منحنی در P که در صفحه بوسان در P قرار دارد. جهت بردار قاائم اصلی طوری انتخاب می شود که بردار اشاره به جهتی کند که منحنی یا تصویرش روی صفحه بوسان در آن جهت مقعر است. این یعنی n همان جهت مشتق دوم بردار موضع نسبت به پارامتر طبیعی یعنی {TEX}{r\prime}{TEX} را دارد.
بردار قائم b بردار یکه ای است که بر صفحه بوسان عمود است بطوریکه سه بردار b ، n ،t ، با همین ترتیب یک سه تایی با جهت مثبت را تشکیل می دهند.

خطوط مار بر P و موازی بردارهای b ، n ،t، بترتیب مماس، قائم اصلی و قائم دوم منحنی در P نامیده می شوند. صفحه ای که شامل مماس و قائم اصلی باشد همان صفحه بوسان است. صفحه ای که قائم اصلی و قائم دوم منحنی را در برگیرد صفحه قائم نامیده می شود. و بالاخره صفحه معین کننده به وسیله مماس و قائم دوم صفحه اصلاحی منحنی در P نام دارد. کل این ساختمان بندی سه وجهی فرنه یا کنج فرنه(Frenet) نامیدهمی¬شود.

تصویر


در حالتی که P نقطه منتظم یک منحنی پارامتری از کلاس \{TEX}{c_2}{TEX}¬ بوده و یک نقطه اصلاح نباشد\ بردارهای کنج فرنه از فرمولهای زیر بدست می آیند.
همانطور که قبلا" دیدیم بردار یکه مماس عبارت است از :
\بردار \ در صفحه بوسان قرار دارد. چون \ بردار یکه است، \ قائم به منحنی است و در نتیجه با بردار قائم اصلی همخط و همجهت است. بنابراین داریم:
\
بالاخره بردار قائم دوم عبارت است از :

اگر پارامتری سازی منحنی را به تغییر دهیم، بردا مماس جهتش را تغییر نمی دهد و بردار قائم دوم جهتش را تغییر می دهد.
حال فرمولهایی که بردارهای کنج فرنه را برای پارامتری سازی دلخواه بیان می کنند را پیدا می کنیم. با توجه به روابط زیر:

چون b یک بردار یکه در جهت است، بنابراین :



و چون
با توجه به اینکه t, n, b یک دستگاه متعامد یکه جهتدار با جهت مثبت تشکیل می دهند داریم:

در یک نقطه اصلاح که یا به طور کلی تر بردارهای , همخط هستند این فرمولها را نمی توان بکار برد. و لذا سه وجهی فرنه تعریف نمی شود.

فرمولهای فرنه
حال منحنی هایی از کلاس ‍‍C3 را در نقاط منتظمی که فقط نقاط اصلاح نیستند در نظر می گیریم. با داشتن چنین منحنی ای می خواهیم رفتار بردارهای کنج فرنه در P را وقتی که P در امتداد منحنی حرکت می کند مطالعه کنیم. برای این کار مشتقات بردارها را نسبت به پارامتر طبیعی s پیدا می کنیم.
مشتق بردار t که از روابط t وn نتیجه می شود مساوی است با:

با معرفی نماد این رابطه را می توان به صورت زیر نوشت:

برای محاسبه مشتق بقیه بردارها نمایشهای آنها را به صورت ترکیباتی خطی از بردارهای مستقل t,n,b اختیار می کنیم. یعنی:

(9.5)

با ضرب اینها در t,n,b خواهیم داشت:


اتحادهای ایجاب می کنند که :


که از آنجا و . مقدار مشترک اخیر را با jh نشان می دهیم. یعنی :

با توجه به روابط (8.5) و (9.5) نتیجه می شود که . بنابراین

قضیه: مشتقات بردارهای سه وجهی فرنه نسبت به پارامتر قوس در فرمولهای زیر صدق می کنند:



این فرمولها فرمولهای فرنه یا فرمولهای سره- فرنه(Serret-Frenet) نامیده می شوند. معنی هندسی ضرایب jhj و jh موسوم به انحنا و تاب منحنی در بخش بعد توضیح داده می شود.


تعداد بازدید ها: 30806


ارسال توضیح جدید
الزامی
big grin confused جالب cry eek evil فریاد اخم خبر lol عصبانی mr green خنثی سوال razz redface rolleyes غمگین smile surprised twisted چشمک arrow



از پیوند [http://www.foo.com] یا [http://www.foo.com|شرح] برای پیوندها.
برچسب های HTML در داخل توضیحات مجاز نیستند و تمام نوشته ها ی بین علامت های > و < حذف خواهند شد..