در این بخش می‌خواهیم كاربردهای مشتق و قواعدی را كه برای آن بیان كرده‌ایم را ارائه دهیم. اگر یادتان باشد مشتق را به گونه‌ای با سرعت لحظه‌ای تعریف كردیم. یعنی مشتق را آهنگ تغییرات نامیدیم. این از اساسی‌ترین كاربردهای مشتق بخصوص در مكانیك است.

دو متحرك عمود بر راستای یكدیگر در حال حركت هستند. در لحظه‌ای فاصله‌ آنها از تقاطع مسیرشان3 و 4 كیلومتر است. سرعت هر كدام هماست. فاصله این دو متحرك با چه آهنگی نسبت به زمان تغییر می‌كند؟

طبق قواعد مشتق‌گیری

در مسئله‌ ما

نردبانی به طول به دیواری تكیه داده است. با ضربه‌ای شروع به افتادن می‌كند بگونه‌ای كه دو طرف آن از زمین و دیوار جدا نشود.

هنگامی‌كه نقاط اتكا آن با زمین و دیوار و هستند و سرعت پیشروی پایه آن روی زمین باشد (سرعت سر آن روی دیوار) چقدر خواهد بود؟ سرعت مركز آن چگونه خواهد بود؟

امّا می‌دانیم كه است زیرا طول نردبان تغییر نمی‌یابد. پس:

در مورد سرعت مركز آن ابتدا مختصات مركز را برحسب و می‌نویسیم آنگاه دیگر مسئله ساده می‌شود:

تانكری مخروطی شكل با زاویه رأس داریم كه از انتهای آن مایع درون آن با سرعت لیتر بر ثانیه خارج می‌شود. در زمانی كه ارتفاع مایع در آن است، سطح مایع با چه سرعتی در تانكر پایین می‌رود؟

ابتدا حجم مایع موجود در تانكر را برحسب و بدست می‌آوریم:

(: منفی بخاطر خروج مایع است)

مقادیر اكسترمم یا فرین همان جاهایی هستند كه تابع مقدارش ماكزیمم یا مینیمم است. اگر تابع در نقاط مورد بررسی مشتق‌پذیر باشد آن وقت قطعاً در نقاط اكسترمم شیب تابع صفر است. پس برای بدست آوردن طول این نقاط كافی است مشتق تابع را مساوی صفر قرار دهیم :

در مداری كه باتری با نیروی محركهو مقاومت داخلی به مقاومت بیرونی متصل شده باشد مقدار توان مصرفی توسط از رابطه:

بدست می‌آید. با چه رابطه‌ای داشته باشد كه مقدار این توان بیشینه (ماكزیمم) شود؟

كافی است از مشتق بگیریم و آن را مساوی صفر قرار دهیم:

پس درحالتی‌كه با مقاومت درونی باتری یكی باشد بیشترین توان را از باتری می‌كشد. اگر به نمودار برحسب نگاه كنید می‌بینید كه این نقطه یك ماكزیمم است.

در این نقطه مقدار توان می‌باشد.

از دیگر كاربردهای مهم مشتق كه نشأت گرفته‌اند از بحث قبلی (مقادیر فرین) است، بهینه‌سازی است. این كه به ازای چه مقادیری كمیتی كه مورد نظر ماست كمینه و یا بیشینه می‌شود.

فرض كنید مستطیلی می‌خواهیم داشته باشیم كه از یك مفتول سیمی به طول ساخته می‌شود اضلاع مستطیل چه مقدارهایی را داشته باشند كه سطح داخل مفتول سیمی بیشینه شود.

حال فرض كنید را آنقدر تغییر دهیم تا مساحت بیشینه شود. در حالت بیشینه می‌بایست مشتق نسبت به تغییرات هر كدام صفر شود.

یا

می‌توانستیم حتی فرض كنیم و در ابتدا مستقل باشند و در نهایت شرط ثابت بودن طول مفتول را روی آنها بگذاریم.

امّا:

هر سه روش هم ارزند. روش آخر را بعدها بطور مفصل در بحث مشتقهای نسبی در توابع چند متغیر بسط خواهیم داد.

مقدار مشخصی ورق آلومینیومی داریم كه می‌خواهیم با آن قوطی استوانه‌ای شكلی (با دربهایش) بسازیم. ابعاد قوطی چه نسبتی با هم داشته باشند تا مقدار حجم قوطی بیشینه شود؟

پس اگر ارتفاع دو برابر باشد یعنی ارتفاع و قطر استوانه یكی باشد مقدار حجم حاصل از مقدار مشخصی ورق آلومینیومی بیشینه است.

قانون اسنل دكارت را در مورد شكست ‌نور با استفاده از اصل فرما بدست آورید.

اصل فرما می‌گوید كه نور همواره بین دو نقطه مسیری را طی می‌كند كه كمینه زمان عبور را از آن بگیرد. در محیط (1) سرعت نور و در محیط (2) سرعت نور است. چنانچه پرتوی خروجی از نقطهدر جایی به سطح مشترك بخورد كه زاویه فرود باشد و این پرتو با خاص خود به نقطه برود می‌بایست نقطه برخورد (یعنی آن) بگونه‌ای باشد كه مدت زمان طی شده در این مسیر از به كمینه شود.

ثابت:

ثابت: ثابت:

(ثابت)

(مینیمم كردن)

اگر تابع را حول مثلاً نقطه به اندازه كافی بزرگ كنیم خواهید دید كه شكل تابع در حول و حوش شیب خط راستی می‌شود كه شیبش، شیب خط مماس بر منحنی در آن نقطه است. وقتی ما تابع را حول و حوش یعنی برایتاهایی حول و حوش بررسی كنیم این بزرگنمایی به معنای آنست كه اگر را روی نمودار اولیه نظاره كنیم مقدار بسیار كوچكی را خواهیم دید كه به سمت صفر نزدیك می‌شود.

در حال حاضر از روی شكل پیداست كه برای

به این تقریب، تقریب خطی تابع در حول نقطه می‌گویند.

اگر دقت كرده باشید وقتی كه می‌رود این رابطه بطور دقیق صحیح است. یعنی:

كاری كه ما كرده‌ایم این است كه برای (كوچك) هم این تساوی را بعنوان مقدار تقریبی صحیح در نظر گرفته‌ایم.

جذر 26 تقریباً چقدر خواهد شد؟

اگر این مقدار را با مقدار دقیق مقایسه بكنید خواهید دید:

كه دقت مناسبی تا دو رقم بعد از اعشار را تضمین می‌كند. (البته با گرد كردن عدد)

امّا سؤالی كه مطرح می‌تواند بشود آنست كه چقدر كوچك باید باشد تا دقت مورد نظر ما را تأمین كند. به تعبیری خطای این محاسبه برحسب تا چه مرتبه‌ای خواهد بود.

طبق قضیه مقابل این خطا را می‌توان تخمین زد:

فرض كنید مقدار تابع در نقطه به مقدار تقریبی در نظر بگیریم آنگاه نقطه‌ای به طول بین و وجود دارد كه

به بیان خواهیم داشت

حال اگر مقدار بیشینه ممكن برای را در بازه تا در نظر بگیریم قطعاً

مثلاً در مثال قبلی

در فاصله 25 تا 26 مقدار بیشینه‌اش در حالت اتفاق می‌افتد

پس دقت جذر 26 كه ما اعلام كردیم تا سه رقم بعد از اعشار می‌تواند باشد (البته با گرد كردن)

این عبارت به این معناست كه قطعاً مقدار دقیق تا 5 رقم: است كه با نامساوی فوق تطابق دارد.

پس با توجه به آنچه این قضیه گفت خواهیم داشت:

گاهی این را به فرم مقابل می‌نویسند:

نماد به معنای آن است كه. یعنی حتماً ثابتی وجود دارد كه به ازای آن مقدار باقیمانده كه باشد از كوچكتر خواهد بود.

به اصطلاح دیگر دقت تقریب فوق تا مرتبه دوم است: . ( می‌تواند مخفف یا همان مرتبه باشد) در بحث چند جمله‌ایهای تیلور حالت كلی‌تر تقریب را خواهیم دید.

در بخش قبلی تابع را با یك خط حول و حوش نقطه تقریب زدیم. طبیعتاً اگر مثلاً جای خط منحنی را به سهمی و یا … چند جمله‌ای درجه ام تقریب بزنیم. نتیجه بهتر و دقیق‌تر خواهد شد. امّا دلیل این كارها چیست؟ ممكن است مانند مثال ما مقدار تابع را در بدانیم ولی برای محاسبه بطور مستقیم دنبال روشی باشیم. یكی از آن روشها بسط تابع مورد نظر حول نقطه مشخص است. این بسط چند جمله‌ایست زیرا ما چند جمله‌ایها را به راحتی می‌توانیم حساب كنیم. زیرا اعمالی مانند ضرب، جمع، توان و … برروی اعداد اعشاری تعریف شده‌اند و دارای الگوریتمی مشخص می‌باشند.پس هدف ما چنین است:

كه

یعنی ما مقدار تابع را برحسب چندجمله‌ای كه ضرایبش را تعیین می‌كند مشخص می‌كنیم. در مورد تقریب خطی بود یعنی كه و

امّا اگر چنین فرضی را بكنیم خواهیم داشت:

و همین‌طور تا مرتبه مشتق بگیریم خواهیم داشت:

پس چند جمله‌ای تا مشتق مرتبه اُمش منطبق بر مشتق اُم در نقطه خواهد بود. می‌ماند بحث خطای این محاسبه:

طبق قضیه‌‌ای مشابه حالت قبلی مقدار این خطا برابر است با:

كه نقطه‌ای بین و است. با بیان خواهیم داشت:

بسط چند سری از توابع پركاربرد به شرح زیر است:

اگر به بسط آخریعنی بسط دقت كنید، این همان بسطی است كه در بخش مشتق‌گیری برای تابع بدست آورده بودیم. این بار منتها از طریق بسط تیلور.