منو
 صفحه های تصادفی
محمد بن عبدالوهاب نجدی
فصل چهارم :بیشتر بدانیم
علی بن ابی حمزه بطائنی
ابن زیاد و امان نامه برای حضرت عباس و برادرانش در کربلا
کنترل انواع فاضلاب
اوربیتال اتمی
تفاوت نظرگاهها
دین و دنیا در اندیشه امام خمینى (ره)
آمار غنائم و کشتگان جنگ حنین
شرایطی که tRNA شارژ شده وجود نداشته باشد
 کاربر Online
554 کاربر online

مفهوم کار - قضیه کار و انرژی

تازه کردن چاپ
علوم طبیعت > فیزیک
(cached)



این مطلب از بخش آموزش وب‌سایت المپیاد فیزیك رشد،انتخاب شده که با فرمت pdf نیز در وب‌سایت المپیاد رشدموجود می‌باشد. برای مشاهده این موضوعات در وب‌سایت المپیاد، به آدرس فهرست مطالب فیزیك مراجعه کنید. همچنین می‌توانید با کلیک اینجا‌ ، با ویژگی‌های بخش آموزش این وب‌سایت آشنا شوید.


مفهوم كار - قضيه كار و انرژي


خوب، در بخش قبل گفتیم می‌خواهیم رابطه‌ای مستقیم بین و ایجاد كنیم و از كمیتی اسكالر جای بردار نیرو استفاده كنیم.
بیایید ببینیم برای حركت شتاب ثابت می‌توانیم چنین كاری را انجام دهیم. در حركت شتاب ثابت مستقیم الخط، اگر یادتان باشد روابط مكان و سرعت بر حسب زمان به فرم
img/daneshnameh_up/a/a0/phm0064a.gif
بودند.
حال بیایید زمان را حذف كنیم و بگونه‌ای را با به طور مستقیم ربط دهیم. برای این كار
یعنی
می‌بینید كه اندازه سرعت از این رابطه به ازای مقادیر مكان ذره بدست می‌آید:
مثلاً اگر و و در نظر بگیریم آنگاه در مقدار سرعت
البته این سرعت در دو زمان مختلف ایجاد می‌شود یكی وقتی و دیگری زمانی كه است.
img/daneshnameh_up/c/c6/phm0064b.gif
حال بیایید رابطه اصلی را در یعنی نصف جرم ذره ضرب كنیم، خواهیم داشت:
می‌بینید كه اندازه نیروی ثابت در مقدار جابجایی تفاضل چیزی را به ما می‌دهد كه وابسته به توان دوم سرعت است. طبق تعریف به ( كه مقدار جابجایی است) كار (Work) نیروی طی جابجایی گویند.
و همچنین طبق تعریف به انرژی جنبشی (Kinetic energy) ذره ( در آن لحظه خاص كه سرعتش است) گویند.
پس خواهیم داشت:
می‌بینید كه در روابط قبلی ما با تعریف چیزی به نام كار توانستیم روابط اسكالری را ایجاد كنیم كه به نوعی سرعت را بر حسب مكان بیان می‌كنند.
اما بیایید كار را در حالت كلی تعریف كنم و سپس قضایای موجود را به حالت عامتر، تعمیم دهم.


كار نیروی ثابت در جابجایی مستقیم


اگر بردار ثابت نیروی به ذره‌ای وارد شود كه جابجا را طی كرده بنظر شما چه تعریفی از كار ( كه كمیتی اسكالر است) می‌تواند بدرد بخورد؟
img/daneshnameh_up/7/7e/phm0064c.gif
در عرایض قبلی دیدیم كه شد كه و در یك راستا بودند اگر شتاب منفی بود یعنی در جهت خلاف و مثبت بود آنگاه منفی می‌شد زیرا شتاب از سرعت می‌كاست. پس می‌بینید كه جهت و مهم بودند. اما آیا به نظرتان خوب است كه كار را منحصر به مؤلفه مماسی بر كنیم؟
چون به نظر كه عمود بر باشد، یعنی آنكه عمود بر بردار سرعت است، یعنی آنكه شتاب بر عمود می‌شود. اگر یادتان باشد در این حالت اندازه سرعت تغییر نمی‌كرد. زیرا
اگر @@
پس اگر بخواهد كار باعث تغییر اندازه سرعت شود می‌بایست به طور مماسی تعریف شود.
img/daneshnameh_up/d/d2/phm0064d.gif
مقدار كار را تعریف می‌كنم اما می‌دانیم
كه زاویه راستاهای است. اما این همان تعریف ضرب داخلی بود. پس
این تعریف را برای یك جابه‌جایی راست و نیروی ثابت انجام دادیم.
طبیعی است اگر نیروی خالص وارد بر ذره باشد آن وقت دیگر جابجایی راست معنایی ندارد زیرا قطعاً مؤلفه كه عمود بر است جهت سرعت را تغییر می‌دهد پس این صرفاً یك جزء از كار كل انجام شده روی ذره است این صرفاً كار نیروی است.


مثال


جسمی به جرم روی سطح افقی بدون اصطكاكی می‌لغزد و با سرعت ثابت به جلو می‌رود. مقدار كار نیروی وزن و نیروی عكس‌العمل سطح برای جابجایی روی سطح بدست آورید.
حل.
img/daneshnameh_up/7/7d/phm0064e.gif
واضح است كه و هر دو بر عمودند پس:
اما كار كل چیست؟ كار كل كار نیروی برآیند وارد بر جسم است:
img/daneshnameh_up/b/b8/phm0064f.gif
می‌بینید این تعریف باعث می‌شود كار كل برابر با مجموع كار هر عامل نیروزا شود.


مثال


جسمی روی سطح بدون اصطكاكی از حالت سكون با نیروی كه با افق زاویه 30 درجه می‌سازد كشیده می‌شود. جرم جسم است. اگر جابجا شود طی این مسافت مقدار كار نیروی و مقدار كل كار انجام شده روی جسم چقدر خواهد بود؟
img/daneshnameh_up/2/2b/phm0064g.gif
حل
ابتدا مسأله را كلی و به طور پارامتری حل می‌كنیم.دراینجا چون جسم شتاب صرفاً افقی دارد.
img/daneshnameh_up/2/26/phm0064h.gif
كار نیروی‌های و بعلت تعامد با مسیر صفر است و صرفاً همان كار نیروی است كه باقی می‌ماند.
واحد كار در را (ژول Joule) می‌نامند. این واحد حاصل از است یعنی .




مثال


پسری سورتمه‌ای به وزن را با سرعت ثابتی با طنابی می‌كشد كه طناب با راستای افق زاویه 45 درجه می‌سازد. ضریب اصطكاك جنبشی كف سورتمه با زمین 0.2است. ابتدا مقدار نیروی كشش طناب را بدست آورید. سپس كار نیروی طناب و اصطكاك زمین را روی سورتمه حساب كنید. كار كل را نیز بدست آورید. (جابجایی را فرض كنید)
حل.
img/daneshnameh_up/f/f6/phm0064i.gif
چون شتاب نداریم برآیند نیروها می‌بایست صفر شود.
img/daneshnameh_up/4/4b/phm0064j.gif
مقدار كار این نیرو در جابجایی :
از آنجا كه نیروی برآیند صفر است و در نتیجه كار نیروی منفی كار نیروی است.
به طور عددی


كار نیروی متغیر یك بعدی


تا بحال نیروهایی را بررسی كرده‌ایم كه اندازه آنها ثابت بوده و در جابجایی مستقیمی منتقل می‌شدند. این بار می‌خواهم نیرو را متغیر در نظر بگیرم یعنی در هر مكانی مقدار خاص خودش باشد. در بخش‌های بعدی در نهایت همه چیز را متغیر در نظر می‌گیریم و كار را به طور كلی تعریف می‌كنم.
فرض كنید نیروی ، بفرم باشد یعنی در هر مكان مقدار خاص خودش را داشته باشد. بیایید ببینیم این نیروی در نقطه طی جابجایی كوچك چه اثری روی حركت دارد.
img/daneshnameh_up/4/43/phm0064k.gif
اگر كوچك باشد یعنی تقریباً همه جای آن یك مقدار است یعنی هماندر این صورت مسأله همان مسأله قبلی خواهد بود یعنی نیروی ثابت با جابجایی كه كارش را تعریف كردیم. این باعث تغییر انرژی جنبشی جرم به اندازه خواهد شد.
خوب یعنی حال اگر جابجایی را از تا (و بزرگ) در نظر بگیریم در اصل می‌خواهم رابطه‌ای از روی نیرو بدست بیاورم كه كه در و در است را به من بدهد.
img/daneshnameh_up/f/f2/phm0064l.gif
طبیعی است كه می‌توان نوشت:
و همچنین
و بنابراین می‌توان نتیجه گرفت:
پس:
كل
حال این تعریف خوبی برای كار است كه از آن تغییرات انرژی جنبشی بدست می‌آید.
چنانچه نمودار را بر بكشیم و به تعبیر سیگماهای فوق توجه كنیم خواهیم دید در اصل سیگماهای فوق مجموع مساحت‌های مستطیل‌هایی به عرض و ارتفاع است و وقتی حد را وارد كنیم این مجموع مساحت‌ها، مساحت زیر نمودار از تا خواهد شد. این همان تعریف انتگرال است كه در بخش ریاضی بررسی‌اش كردیم.
img/daneshnameh_up/6/6a/phm0064m.gif
پس كار نیرو در حركتی از به خواهد شد.
اما آیا هر نیرویی را می‌توان بر حسب مكان بیان كرد؟ قطعاً نه این در صورتی است كه نیرو در مكان مشخص همواره مقدار مشخصی باشد. اگر نباشد چه می‌شود؟ آنگاه انتگرال فوق لزوماً برای همه حركات ممكن یك مقدار نخواهد شد. یعنی:
را باز برای هر حركت می‌توان حساب كرد و در این جا هم طبیعتاً خواهد شد، منتها این انتگرال برای همه حركت‌های ممكن بین و یك مدار نخواهد شد چون حركت‌های مختلف می‌تواند های مختلفی را در یك ایجاد كند. ولی اگر عامل ایجاد نیرو یك نوع خاص باشد كه در هر مكان بتوان مقدار آن را تعیین كرد آنگاه این انتگرال برای همه حركت‌های ممكن تحت آن عامل خاص یكی خواهد شد.


مثال


نیروی ثابت به ذره‌ای وارد می‌شود تحت جابجایی از تا مقدار كار این نیرو چقدر خواهد بود؟
img/daneshnameh_up/e/e5/phm0064n.gif
حل
طبق رویكرد هندسی هم این انتگرال همین خواهد شد.


مثال


فرض كنید نیروی مقاومتی روی جسم ما اثر می‌كند كه متناسب با سرعت و در جهت عكس آن است. آیا كار این نیرو را می‌توان بین فاصله تا حساب كرد؟ (برای همه حركت‌ها)
حل
خیر
اما ممكن است در نقطه سرعت یا یا هر چیز دیگری باشد یعنی در هر خاصی می‌توان های مختلفی برای حركت‌های مختلفی در نظر گرفت. چنانچه بزرگ‌تر شود در كل نیروی در هر فاصله تا بزرگتر می‌شود و در نتیجه كارش هم منفی‌تر خواهد بود. پس یكی از شرایط اساسی آنكه كار نیرو برای همه حركت‌های ممكن تحت نیروی قابل تعریف باشد این است كه تابع سرعت نباشد. البته در این مورد خاص محاسباتی می‌توان انجام داد:
كه همان نتیجه حاصل از تعریف كار بود (چیز جدیدی نیست) در این مسأله ابتدا باید بر حسب شرایط مسأله ابتدا راحل كرد آنگاه با آن رابطه و را بدست آورد.
مثلاً در جایی نوشته بودم
كه از طریقی به غیر از محاسبه كار نیرو رابطه خود سرعت با مكان بدست آمد.
حال اگر كار را هم بخواهیم حساب كنیم به طور معكوس حسابش می‌كنیم یعنی:
كه می‌بینید كار نیرو به غیر از به به هم بستگی دارد. البته ظاهراً ممكن است این عدد مثبت شود در حالیكه می‌دانیم نیرو در جهت خلاف و همیشه خلاف جابجایی است و قطعاً كارش منفی است. این مشكل وجود ندارد زیرا چنانچه بخواهد ذره از تا برسد می‌بایست سرعتش در آنجا غیر صفر باشد (یا حداقل صفر شود) اگر جهت اول سرعت را بگیریم آنگاه باید حتماً باشد تا ذره به رسیده باشد پس طبق معادله اول:
چنانچه رابطه كار را بازنویسی كنیم:
كه با شرط قبلی قطعاً منفی است.
آنچه از بخش ریاضی بیاد دارید آن بوده كه طبق قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال می‌بایست مشتق تابع اولیه انتگرال ده را بدهد.
پس اگر باشد آنگاه كارش خواهد بود پس :
این را در مورد نیروی مثال قبل هم می‌شود بررسی كرد با فرض آنكه بدانیم حركت با یك خاص شروع شده:
اما
كه می‌بینید همان نیروی فرضی اول است.


مثال



نیروی یك فنر به فرم است كه مكان انتهای فنر در حالت آزادش است. كار این نیرو را در جابجایی از تا حساب كنید؟
حل.
img/daneshnameh_up/d/d7/phm0064o.gif
از راه مساحت هم به همین رابطه خواهیم رسید. دو مثلث داریم كه یكی دارای مساحت مثبت و یكی منفی است.
كه همان رابطه قبلی است با ظاهر جبری البته بهتر. می‌بینید در اصل كار در جابجایی تا برابر است با كه را مقدار كشیدگی (یا فشردگی) فنر نسبت به حالت آزاد نشان می‌دهد.
حال كه حالت تك بعدی را تا حد مناسبی بسط دادیم بهتر است سراغ حالت دوبعدی برویم.


تعریف كار در حالت دو بعدی با نیروی ثابت


برای سادگی ابتدا می‌رویم سراغ نیروی ثابت منتها بر مسیری منحنی شكل.
برای جابجایی مستقیم رابطه را تعریف كردیم برای این حالت باز باید تعریف مناسبی بیابیم كه تغبیر انرژی جنبشی را به ما بدهد. در این حالت به شكل جالبی تعریف
img/daneshnameh_up/f/f0/phm0064p.gif
جواب خواهد داد كه دلایلش را بعداً خواهم گفت.


مثال


نیروی گرانشی (ثقل) در سطح زمین كه می‌دانید به فرم است. كار این نیرو در جابجایی از بردار مكان به چقدر است؟
حل.
عکس پیدا نشد
می‌بینید این كار منفی در اختلاف ارتفاع دو نقطه است.


تعریف نهایی



در این بخش می‌خواهم با كار كامل ریاضی تعریف كامل و سه بعدی "كار" را بدست بیاورم. از این شروع خواهم كرد كه تغییرات انرژی جنبشی را می‌خواهم بدست بیاورم.
این رابطه می‌گوید كه مقدار كل تغییر انرژی جنبشی برابر با مجموع تغییرات ریزدر هر لحظه است.
اما ج

تعداد بازدید ها: 38321


ارسال توضیح جدید
الزامی
big grin confused جالب cry eek evil فریاد اخم خبر lol عصبانی mr green خنثی سوال razz redface rolleyes غمگین smile surprised twisted چشمک arrow



از پیوند [http://www.foo.com] یا [http://www.foo.com|شرح] برای پیوندها.
برچسب های HTML در داخل توضیحات مجاز نیستند و تمام نوشته ها ی بین علامت های > و < حذف خواهند شد..