منو
 صفحه های تصادفی
زنان شاه عباس بزرگ
دانشکده روانشناسی و علوم تربیتی
بونیون
تاریخچه اسکار
اوکتای قاآن
تقسیم بندی شخصیت از دیدگاه فروید
مسئول کالیبراسیون
پراکنده شدن دو سپاه بدون درگیری
ژیسموندیت
اصطلاحات دسته های نظامی در زبان عربی
 کاربر Online
594 کاربر online

قضیه فویر باخ

چاپ
علوم ریاضی > ریاضی



این مطلب از بخش آموزش وب‌سایت المپیاد ریاضی رشد،انتخاب شده که با فرمت pdf نیز در وب‌سایت المپیاد رشدموجود می‌باشد. برای مشاهده این موضوعات در وب‌سایت المپیاد، به آدرس فهرست مطالب ریاضی مراجعه کنید. همچنین می‌توانید با کلیک اینجا‌ ، با ویژگی‌های بخش آموزش این وب‌سایت آشنا شوید.


قضیه فویر باخ

فرض می‌کنیممرکز ارتفاعات مثلث باشد. با توجه به اینکه دایره نه نقطه مثلث، دایره نه نقطه مثلثات نیز هست، قضیه زیرمنسوب به ک.و. فویر باخ ( 1800-1834 )، دبیر دبیرستان ارلانگن، آلمان، که در سال 1822 آن را کشف کرده، به راستی جالب است.

قضیه1. ( فویر باخ )

دایره نه نقطه مثلث، بر دایره محاطی داخلی و سه دایره محاطی خارجی آن مماس است ( شکل 1 )
img/daneshnameh_up/5/5a/mathm0077a.gif

برهان.
بی‌آنکه خللی در کلیت حاصل شود، می‌توان فرض کرد مثلث در دایره واحد محاط است. برای اجتناب از به کار بردن علامتهای دست و پاگیر ریشه دوم، فرض می کنیم راسهای به ترتیب با اعداد مختلط نمایش داده شوند.
نیمساز ( داخلی ) راس از وسط آن کمان که شامل راس ( در خود ) نیست می‌گذرد، در صورتی که نیمساز خارجی راس از وسط آن کمان که شامل راس ( در خود ) است می‌گذرد. نقطه اخیر را نقطه می نامیم. پس نقطه اولی باید باشد. همین طور اگر وسط آن کمان را که شامل راس ‌( در خود‌) است،‌ بگیریم، وسط آن کمان که شامل راس ( در خود ) نیست، خواهد شد.(توجه کنید که همواره این کار،در صورت لزوم، با تغییر علامت (های) یا میسر است. مثلاً‌ فرض می‌کنیم به طور پادساعتسو بر دایره واحد واقع باشند و نقطه در باشد. را چنان اختیار می‌کنیم که . بنابراین معادلات سه نیمساز ( داخلی ) به ترتیب خواهند شد:



از حل این دستگاه همزمان با انتخاب دو معادلات از این سه معادله داریم

طبق معمول، چنانچه قرار دهیم

نقطه تلاقی فوق خواهد شد. واضح است که این نقطه در معادله سوم باقی مانده ( بنابر تقارن ) صدق خواهد کرد. پس نشان داده ایم که سه نیمساز داخلی یک مثلث در یک نقطه متقاطع اند. این نقطه تقاطع را مرکز درونی مثلث گویند.
اما نقطه ، نیز مرکز ارتفاعهای مثلثی است با راسهای . این مطلب از مقایسه معادله نیمساز ( داخلی ) راس و معادله خطی که دو نقطه را بهم وصل می‌کند یعنی:

روشن می شود. این امر برای دو نیمساز دیگر، نیز درست است.
مشاهده مشابه نشان می‌دهد که مراکز دوایر محاطی خارجی مرکز ارتفاعات مثلثهایی به راسهای:



هستند. چون همه این مثلثها محاط در دایره واحدند، داریم:



اکنون، فاصله بین مرکز دایره محاطی داخلی و مرکز دایره نه نقطه مثلث را حساب می‌کنیم.

می‌دانیم که شعاع دایره نه نقطه است. شعاع دایره محاطی داخلی را حساب می‌کنیم: معادله خط عبارت است از :

و لذا معادله عمود مرسوم از مرکز دایره محاطی داخلی بر ضلع چنین است

پس پای این عمود با



داده می‌شود از اینجا نتیجه می شود که شعاع دایره محاطی داخلی عبارت است از


که در آن از واقعیت استفاده شده است. به آسانی می‌توان تحقیق کرد که: ،
بنابراین داریم:
یعنی
که نشان می‌دهد دایره نه نقطه و دایره محاطی داخلی مماس داخل اند.
برای اینکه ثابت کنیم دایره محاطی خارجی مماس است، فقط باید به جای ،قرار دهیم و استدلال بالا را تکرار کنیم.
برهان دیگر. در برهان که در کتاب ب.ج. دیویس تحت عنوان، تابع شوارتز و کاربردهای آن آمده است، دایره واحد، نه به عنوان دایره محیطی، بلکه به عنوان دایره محاطی داخلی مثلثگرفته شده است. فرض می کنیم نقاط تماس اضلاع با دایره واحد به ترتیب باشند. پس معادلات این سه ضلع چنین هستند.

img/daneshnameh_up/c/c9/mathm0077b.gif

از حل این دستگاههای معادلات دو به دو،‌ راسهای ،و با اعداد مختلط زیر مشخص می‌شوند.

از این رو نقطه وسط ضلع خواهد شد
img/daneshnameh_up/4/44/mathm0077c.gif

که در آن

همین طور نقاط وسطهای عبارت اند از

فرض می‌کنیم نقطه ای باشد که با نمایش داده شده است،‌ بنابراین واضح است که

بنابراین باید مرکز دایره نه نقطه باشد و شعاع آن است. لذا معادله دایره نه نقطه چنین خواهد شد

یعنی
img/daneshnameh_up/0/03/mathm0077d.gif

که در آن از روابط

استفاده شده است. از بسط رابطه اخیر خواهیم داشت

از حل دستگاه معادلات متشکل از معادله اخیر ( معادله دایره نه نقطه ) و معادله دایره محاط داخلی ، خواهیم داشت

یعنی

از اینجا نتیجه می‌شود که اگر، دستگاه معادله های این دو دایره،‌ ریشه مضاعف خواهد داشت، که می‌رساند این دو دایره برهم مماس اند. اگر ، مثلث مفروض متساوی الاضلاع و دایره‌های نه نقطه و محاطی داخلی بر هم منطبق می‌شوند.
محاسبه بالا،‌ بدون تغییر،‌ معتبر است،‌ حتی اگز دو تا از نقاط در امتداد الاضلاع مربوطه قرار داشته باشند ( یعنی دایره واحد،‌ دایره محاطی خارجی باشد ) بدین ترتیب برهان،‌ کامل می شود.▪

پیوند های خارجی

http://Olympiad.roshd.ir/mathematics/content/pdf/0104.pdf




تعداد بازدید ها: 14019


ارسال توضیح جدید
الزامی
big grin confused جالب cry eek evil فریاد اخم خبر lol عصبانی mr green خنثی سوال razz redface rolleyes غمگین smile surprised twisted چشمک arrow



از پیوند [http://www.foo.com] یا [http://www.foo.com|شرح] برای پیوندها.
برچسب های HTML در داخل توضیحات مجاز نیستند و تمام نوشته ها ی بین علامت های > و < حذف خواهند شد..