منو
 کاربر Online
820 کاربر online

قضیه بطلمیوس- اویلر

تازه کردن چاپ
علوم ریاضی > ریاضی
(cached)



این مطلب از بخش آموزش وب‌سایت المپیاد ریاضی رشد،انتخاب شده که با فرمت pdf نیز در وب‌سایت المپیاد رشدموجود می‌باشد. برای مشاهده این موضوعات در وب‌سایت المپیاد، به آدرس فهرست مطالب ریاضی مراجعه کنید. همچنین می‌توانید با کلیک اینجا‌ ، با ویژگی‌های بخش آموزش این وب‌سایت آشنا شوید.


قضیه بطلیموس – اویلر

به ازای هر چهار عدد مختلط به آسانی می توان تساوی زیر را تحقیق کرد

و با توجه به نابرابری مثلثی خواهیم داشت

اکنون به بررسی حالتی می‌پردازیم که این نابرابری به برابری بدل شود. در حالت نابرابری مثلثی،

تساوی، فقط و فقط هنگامی برقرار خواهد شد که یک عدد حقیقی مثبت (‌ به شرط ) باشد. پس به جستجوی شرطی می پردازیم که ضامن مثبت و حقیقی بودن عدد
img/daneshnameh_up/7/75/mathm0071a.gif

یعنی همدایره هستند .و در دو طرف وتر واصل بین دو نقطه قرار دارند،‌ که نتیجه آن به ترتیب الفبایی قرار گرفتن این نقاط ( ساعتسو یا پادساعتسو ) است. پس قضیه زیر را ثابت کردیم.
img/daneshnameh_up/0/03/mathm0071f.gif


قضیه1.

به ازای هر چهار نقطه در صفحه داریم

تساوی هنگامی و فقط هنگامی برقرار می‌شود که این چهار نقطه همدایره ( یا همخط ) باشند و به ترتیب الفبایی ( ساعتسو یا پاد ساعتسو ) قرار گرفته باشند.
حالت تساوی توسط ک. بطلیموس ( حدود 85 – 165 ب.م ) کشف گردید، در صورتی که حالت کلی متجاوز از هزار سال بعد توسط ل. اویلر (1707 – 1783) پیدا شد. ولی با استفاده از اعداد مختلط نتایج آن را می‌توان فقط در یک سطر به دست آورد.
عبارت

را نسبت ناهمساز چهار نقطهگویند، این نسبت نقش مهمی در بخشهای مختلف ریاضیات، به خصوص در هندسه تصویری، که مسلماً یکی از زیباترین شاخه های ریاضیات است ایفا می کند.

فرع 1.

چهار نقطه همدایره ( همخط ) اند، اگر و فقط اگر

در مطالب بعد، همخطی، حالت خاص (‌ تباهیده ) همدایرگی در نظر گرفته می‌شود.
هنگامی که چهار ضلعی محاطی به مستطیل بدل شود، قضیه بطلیموس به صورت زیر در می آید:

فرع 2.

( فیثاغورس ) در مثلث قائم الزاویه ، قائمه در راس ، داریم:


مثال.

فرض می‌کنیم پنج ضلعی منتظمی به ضلع محاط در دایره ای به شعاع وسط طول یک قطر آن باشد. با استفاده از قضیه بطلیموس برای چهار ضلعیهای خواهیم داشت:

که درآن طول ضلع ده ضلعی منتظم محاط در دایره ای به شعاع است. از اینجا نتیجه می‌شود که در تساوی صدق می‌کند.
img/daneshnameh_up/2/2a/mathm0071g.gif

بنابراین نسبت شعاع به طول ضلع ده ضلعی منتظم محاطی، ، نسبت زرین معروف را می‌دهد:

بویژه همان طوری که قبلا دیده ایم، یک پنج ضلعی منتظم را می توان با یک ستاره و پرگار رسم کرد.


پیوند های خارجی

http://Olympiad.roshd.ir/mathematics/content/pdf/0098.pdf




تعداد بازدید ها: 19141


ارسال توضیح جدید
الزامی
big grin confused جالب cry eek evil فریاد اخم خبر lol عصبانی mr green خنثی سوال razz redface rolleyes غمگین smile surprised twisted چشمک arrow



از پیوند [http://www.foo.com] یا [http://www.foo.com|شرح] برای پیوندها.
برچسب های HTML در داخل توضیحات مجاز نیستند و تمام نوشته ها ی بین علامت های > و < حذف خواهند شد..