قضیه اساسی حساب در نظریه اعداد به این شکل بیان می شود:

هر عدد طبیعی بزرگتر از یک را می توان به طور یکتا به صورت حاصلضربی از اعداداول نوشت.

به عنوان مثال:



حال اگر ترتیب نوشتن عاملها را در نظر نگیریم این تنها تجزیه از عدد 6936 به عوامل اول است که می توانیم بنویسیم.

اثبات این قضیه شامل دو قسمت است. ابتدا نشان می دهیم هر عدد را می توان به صورت حاصلضربی از اعداد اول نوشت و سپس ثابت می کنیم این تجزیه یکتاست.

اثبات:

برهان: فرض می کنیم عدد صحیح مثبتی مانند x وجود دارد که نمی توان آن را به حاصلضرب اعداد اول تجزیه کرد. مجموعه A را به این شکل تعریف می کنیم:

مجموعه n های عضو اعداد طبیعی به طوریکه 1
A مخالف تهی است زیرا x عضوی از A می باشد. پس بنا به اصل خوش ترتیبی اعداد طبیعی A عضو ابتدا دارد.

فرض می کنیم m ابتدای A باشد(یعنی m عضوی از A است و در نتیجه قابل تجزیه به اعداد اول هم نیست). بنابراین m اول نیست پس عددی مرکب است یعنی:



بدیهی است که d1 و d2 عضو A نیستند زیرا از m کوچکترند لذا هر دو تجزیه پذیرند. بنابراین:






به طوریکه p ها و q ها اول هستند. در نتیجه:


می بینیم که m تجزیه پذیر شده و این با فرض ما در تناقض است.

پیوندهای خارجی

www.wikipedia.com