مقدمه

مفهوم حد یکی از مهمترین مفاهیم حساب دیفرانسیل و انمتگرال است و پایه اصلی برای محاسبه مبحثهای پیوستگی ، مشتق و دیفرانسیل و انتگرال و... می باشد. در این مقاله صرفا به بیان قضایای مربوط به حد خواهیم پرداخت برای مطالعه مفهوم حد بهتر است به مقاله ای تحت عنوان "حد و پیوستگی" مراجعه نمایید.
قضیه 1: حد تابع f در نقطه x0 در صورت وجود ، یکتاست.
قضیه 2: فرض کنید b,a دو عدد ثابت باشند در این صورت:
Lim(ax+b)=ax0+b
x→x0

قضیه 3: قضیه ترکیب حدها

اگر limF1(t)=L1 و limF2(t)=L2 ، آنگاه:
t→x0 t→x0

1) lim F1(t)+F2(t)=L1+L2
2) lim F1(t)-F2( t)=L1+L2
3) limF1(t).F2(t)=L1.L2
فرمول ******


برای خاصیت شماره (7) اگر n زوج باشد. تابع F1(t) باید در یک همسایگی x0 مثبت باشد.
فرمول****

در تمام 8 خاصیت فوق حدها زمانی گرفته می شوند که t→x0 و L2,L1 اعداد حقیقی هستند.
نکته: اگر limf(x)=L ، آنگاه lim(f(x)-L)=0 .
x→x0 x→x0

قضیه 4

اگر در یک همسایگی محذوف x0 داشته باشیم f(x)≤g(x) و اگر limf(x)=L1 و limg(x)=L2 آنگاه
x→x0 x→x0
L1≤L2.

قضیه 5

(قضیه ساندویچ): فرض کنید که به ازای هر t≠c در بازه ای حول c ، داشته باشیم:
f(t)≤g(t)≤h(t)
و وقتی t به c میل می کند، f(t) و h(t) هر دو به حد L میل کنند در این صورت g(t) هم وقتی t به c میل می کند به L میل خواهد کرد. بعبارت دیگر:
Limg(t)=L
t→c

قضیه 6

حد تابع f(x) وقتی x به سمت x0 میل می کند برابر L است اگر و تنها اگر هم حد راست (یعنی وقتی x به سمت x0 مثبت میل می کند) و هم حد چپ (یعنی وقتی x به سمت x0 منفی میل می کند) هر دو برابر L باشد.

قضیه 7

اگر n یک عدد طبیعی باشد آنگاه:
فرمول***

نتیجه ای که از قضیه ف وق می توان گرفت این است که اگر n زوج باشد آنگاه: lim1/xn=+∞
x→0

قضیه 8

فرض می کنیم برای عدد حقیقی x0 ، limg(x)=M ،
x→x0

در اینصورت:
الف) اگر f(x) , M>0 در یک همسایگی محذوف x0 مثبت و حدش در x0 صفر باشد آنگاه:
فرمول****

ب) اگر f(x) , M>0 در یک همسایگی محذوف x0 منفی و حدش در x0 صفر باشد آنگاه
فرمول** **

ج) اگر f(x) , M<0 در یک همسایگی محذوف x0 منفی و حدش در x0 صفر باشد، آنگاه:
فرمول***

د) اگر M<0 و f(x) در یک همسایگی محذوف x0 مثبت و حدش در x0 صفر باشد آنگاه:
فرمول***

نکته: با توجه به مطالب فوق حد تابع کسری به ازای ریشه مخرج را می توان به صورت زیر بیان نمود:
هرگاه تابع f(x) در یک همسایگی محذوف a مثبت باشد، داریم:
فرمول***

هرگاه تابع f(x) در یک همسایگی محذوف a منفی باشد، داریم:
فرمول***

نکته: اگر limf(x)=+∞ آنگاه lim1/f(x)=0.
x→0 x→0
نکته: در تعیین حد عباراتی که شامل جزء صحیحی و یا قدر مطلق هستند حتما حد راست و حد چپ را مورد بررسی قرار می دهیم.
نکته: در محاسبات مربوط به حد باید سرعت رشد عبارات را موقعی که x→∞ میل می کند مدنظر قرار دارد برای مثال سرعت رشد ex بیشتر از x یا x2 است و همچنین سرععت رشد Lnx بسیار کمتر از x است. در حالت کلی وقتی b,a اعداد بزرگتر از یک و n→∞ باشد داریم:
nn>>n!>>an>>nb>>n>>√n>>loga√nb
قاعده هوپیتال: هرگاه در محاسبه حد توابع به دو حالت 0/0و ∞/∞ برسیم از قاعده هوپیتال استفاده می کنیم که به شکل زیر بیان می شود:
فرمول***

یعنی به طور جداگانه از صورت و مخرج مشتق می گیریم. در حد فوق x0 می تواند عدد یا بی نهایت باشد. قاعده هوپیتال به دفعات در یک مساله قابل استفاده است به شرطی که هر بار به حالت های 0/0 یا ∞/∞ برسیم.

• دربعضی مواقع به حدودی می رسیم که می توان آ نها را به صورت یک سری نوشت و بعد می توان مقدار آنها را با محاسبه یک انتگرال بدست آورد برای این منظور از قضیه زیر کمک می گیریم:

قضیه 9: فرض کنید تابع f(x) بر بازه a,b انتگرال پذیر باشد در این صورت:
فرمول****

مباحث مرتبط با عنوان

• حد و پیوستگی
• مفهوم حد
• کاربردهای مشتق
• مشتق