منو
 صفحه های تصادفی
گوجه فرنگی «داروئی»
آنالیسم
فکسوفنادین
مبانی گرانش
پاسخ امام حسن علیه السلام به معاویه
نفوذ قرآن در ادبیات فارسی
سلطان، لقبی برای محمود غزنوی
رشته آبادانی روستاها
امام خمینی - توکل
قطبش دایروی
 کاربر Online
625 کاربر online

بردار مکان ، سرعت و شتاب

تازه کردن چاپ
علوم طبیعت > فیزیک
(cached)



این مطلب از بخش آموزش وب‌سایت المپیاد فيزيك رشد،انتخاب شده که با فرمت pdf نیز در وب‌سایت المپیاد رشدموجود می‌باشد. برای مشاهده این موضوعات در وب‌سایت المپیاد، به آدرس فهرست مطالب فيزيك مراجعه کنید. همچنین می‌توانید با کلیک اینجا‌ ، با ویژگی‌های بخش آموزش این وب‌سایت آشنا شوید.


بردار مكان


در فصل "حساب برداری" به مقدار زیادی در مورد بردار مكان و مختصاتهای مختلف صحبت كرده‌ایم و در اینجا صرفاً به یادآوری بعضی مباحث می‌پردازیم.
بردار مكان را كه مكان نسبی هر نقطه را نسبت به مبدأ "" تعیین می‌كند می‌توان در مختصاتهای مختلف به صورت متفاوت نمایش داد:
دكارتی:-------------------
استوانه‌ای:----------------
كروی:---------------------
بردار مكان اساس سینماتیك را به همراه زمان تشكیل می‌دهد. خیلی از كمیات فیزیكی توابعی از این دو هستند. مثلاً شتاب گرانشی كره زمین در هر نقطه از اطراف آن تابع است به فرم:
كه از مركز زمین سنجیده می‌شود.
معمولاً مبدأ مختصات را در مسائلمان ما بروی سطح زمین در نقطه‌ای مشخص در نظر می‌گیریم. امّا فرض كنید دو مرجع مختصات مختلف و داشته باشیم كه بردار مكان نسبت به ، باشد.
img/daneshnameh_up/5/55/phm036a.gif
حال می‌خواهیم بدانیم مكان نقطه مشخصی در فضا كه توسط این دو مرجع مشخص می‌شوند چگونه به هم مرتبط می‌شوند، همانطور كه از شكل و شهود ما پیداست:
یا
این رابطه به بیان اندیسی خواهد شد:
یا
بدیهی است كه .
البته باید حواسمان باشد كه جمعهای برداری را در صورتی می‌توانیم به راحتی انجام دهیم كه جهت‌گیری دستگاهها با هم دیگر موازی باشند. یعنی:

كه



سرعت( Velocity)


در بحث مشتق اشاراتی به آهنگ تغییر كمیات كردیم. سرعت آهنگ زمانی تغییر بردار مكان است.
به این معنا كه اگر مسائلمان یك بعدی باشد یعنی مكان ذره مورد نظرمان با x مشخص شود آنگاه سرعت متحرك خواهد بود یعنی .
سرعت میانگین برابر است با مقدار متوسط جابجایی تقسیم بر زمان این جابجایی.
سرعت لحظه‌ای كه مشتق مكان است حد سرعت متوسط برای های كوچك است.
در مسئله‌های 2 و یا 3 بعدی كافی است مشتق مؤلفه‌های دیگر مكان را بگیریم. در كل تعریف بردار سرعت خواهد بود:
اگر منحنی حركت متحركی را مورد توجه قرار دهید خواهید دید كه بردار سرعت همواره مماس بر مسیر حركت ذره است.
img/daneshnameh_up/9/9f/phm036b.gif
می‌توان گفت كه به ما می‌گوید كه اگر متحرك در جهت بخواهد حركت كند اگر یك واحد زمانی بگذرد چقدر جابجا خواهد شد. این جابجایی بر واحد زمان همان مفهوم بنیادی سرعت است.
پس بردار در هر لحظه حامل دو اطلاع است:
1. جهت حركت همان جهت
2. مقدار آهنگ جابجایی در جهت حركت، اندازه
سرعت نسبی را می‌توان به سادگی از روی رابطه مكانهای نسبی دو دستگاه و بدست آورد. (سرعت نسبت به )



مثال



شخصی آینه‌ای در دست دارد و با سرعت در حال حركت است. شخص دیگری با سرعت به سمت آینه در حال حركت است. این شخص سرعت تصویر خود را در آینه چقدر می‌بیند؟
img/daneshnameh_up/f/f4/phm036c.gif
حل.
آن سرعتی كه ما می‌خواهیم محاسبه كنیم سرعت تصویر شخص دوم نسبت به خودش است. راه حل شهودی مسئله چنین است: بعد از آینه جلو آمده، این باعث می‌شود تصویر شخص دوم (اگر خودش حركت نكند) جلو بیاید. حال آینه را ثابت بگیرید و شخص رابه سمت آینه بیاورید. این بار تصویر در آینه جلو می‌آید. پس سرجمع تصویر در آینه نسبت به زمین جلو می‌آید امّا خود شخص هم به آینه نزدیك شده است پس تصویر نسبت به شخص نزدیك شده است پس در این تصویر به شخص نزدیك شده است نتیجتاً سرعت تصویر نسبت به شخص خواهد بود.
خواهیم داشت:
سرعت شخص
سرعت آینه
سرعت آینه نسبت به شخص
و می‌دانیم كه سرعت تصویر دو برابر سرعت آینه است. در نتیجه:
سرعت تصویر نسبت به شخص


مثال


قایقرانی می‌تواند با سرعت پارو بزند. او می‌خواهد از عرض رودخانه‌ای با سرعت آب عبور كند. می‌دانیم كه است و عرض رودخانه است.
img/daneshnameh_up/5/52/phm036d.gif
الف. با چه زاویه‌ای پارو بزند تا مستقیماً به طور عمود بر راستای رودخانه به نقطه مقابل ساحل برسد؟
‌ب. با چه زاویه‌ای پارو بزند كه كمترین زمان را برای رسیدن به سمت دیگر رودخانه طی كند؟
‌ج. آیا ممكن است ابتدا با زاویه‌ای پارو بزند و به سمت دیگر رودخانه برسد سپس به سمت نقطه مقابل ساحل نسبت به حالت رفت پارو بزند و به آن برسد و مدت زمان طی شده كمتر از حالت "الف" شود؟ اگر می‌شود آن زاویه را بدست آورید.
حل.
سرعت پارو زدن نسبت به آب است. پس سرعت واقعی (نسبت به زمین) قایق همواره خواهد بود:
در حالتهای مختلف جهت بردار و در نتیجه تغییر خواهد یافت.
الف. كافی است كه مؤلفه افقی ، را خنثی كند و مؤلفه آن باعث حركت قایق به سمت طرف دیگر رودخانه شود:
img/daneshnameh_up/f/f8/phm036e.gif
الف.در این حالت مدت زمان عبور
‌ب. هر چه مقدار بیشتر باشد قایق سریعتر به طرف مقابل خواهد رسید سریعترین حالت آن است كه باشد:
img/daneshnameh_up/8/8d/phm036f.gif
‌ج. این یك مسئله بهینه‌سازی است:
img/daneshnameh_up/f/fd/phm036g.gif
با فرض ؛ ؛ با فرض :
كه - برای حالت یعنی حالت یا
و + برای حالت یعنی حالت یا می‌باشند.
برای بهینه‌كردن كافی است كه مشتق ج را نسبت به بگیریم و مساوی صفر قرار دهیم:
هیچگاه نمی‌رسد :وقتی
البته این برای حالتی است كه ؛ پس باید شرط برقرار باشد یعنی:
كه این شرط اضافه‌ایست كه برای این حالت می‌بایست صادق باشد.


شتاب (acceleration)


شتاب آهنگ تغییر سرعت است و به همان شكل سرعت كه از روی مكان تعریف شد از روی سرعت تعریف می‌شود.
روابط شتاب نسبی دستگاهها هم به فرم زیر خواهد بود:
كه : شتاب ذره در دستگاه و : شتاب ذره در دستگاه و : شتاب دستگاه نسبت به است.
چنانچه نسبت به شتاب نداشته باشد آنگاه خواهد شد كه حالتی خاص است. در این حالت می‌گوییم كه این دو دستگاه نسبت به هم لخت(inertial) هستند.
این مطلب بعدها در قوانین مكانیك بدردتان خواهد خورد.
ما تا شتاب یعنی مشتق دوم مكان بیشتر پیش نخواهیم رفت زیرا خواهید دید كه در قوانین نیوتن و اكثر مسائل متعارف صرفاً تا همین حد مشتق از مكان كافی است.
می‌ماند روابط معكوس این تعاریف طبق تعریف انتگرال:
تعبیر هندسی سرعت در حركت یك بعدی، شیب خط مماس بر منحنی است كه همان مفهوم مشتق را می‌رساند. امّا تعبیر مكان روی منحنی سرعت- زمان چیست؟
img/daneshnameh_up/a/a5/phm036h.gif
بیایید نگاهی به مساحت زیر نمودار در بازه زمانی بیندازیم. اگر این مساحت را برحسب بسط انتگرال آن بخواهیم بنویسیم خواهد شد:

img/daneshnameh_up/b/b2/phm036i.gif


امّا است پس


مثال


ذره‌ای با شتاب ثابت حركت می‌كند. روابط مكان و سرعت آن را برحسب زمان بدست آورید.
حل.
در بعضی شرایط بعضی بازیهای ریاضی می‌تواند به حل و یا ساده‌سازی مسائل كم كند مثلاً می‌توان نوشت:
در حالت شتاب ثابت
در حالت كلی اگر شتاب تابع مكان باشد انتگرال بالا بطور مستقیم اختلاف توان دو سرعتها را برحسب موقعیتها می‌دهد. مثلاً فرض كنید كه بدانیم شتاب گرانش تابعی به فرم باشد. در این صورت:
اگر شعاع زمین باشد آنگاه سرعت ذره برحسب ارتفاع از سطح زمین خواهد بود:
چنانچه باشد آنگاه
كه مانند حالت شتاب ثابت با شتاب است كه همان شتاب ثقل در سطح زمین است.
حالت دیگر آن است كه برود یعنی آنگاه:
می‌بایست كه:
این به آن معناست كه اگر نباشد هیچگاه متحرك به فاصله‌های خیلی دور نمی‌رسد. این سرعت كه به سرعت فرار از زمین مشهور است عدداً چیزی حدوداست.


مثال


شتاب متحركی متناسب با منفی است. مكان آن برحسب زمان چگونه تغییر می‌كند؟
حل.
مثال فوق نمونه‌ای از نوعی اصطكاك است كه باعث شتاب كاهنده‌ای متناسب با سرعت می‌شود. این نوع اصطكاكها در سیالات مایع موسومند. می‌بینید كه بعد از زمان طولانی مقدار سرعت صفر می‌شود (سكون) و در این مدت متحرك به اندازه جابجا شده است. این تكه را می‌شد جور دیگری نیز گفت:
كه چون در نهایت است همان رابطه قبلی بدست خواهد آمد.


مثال


دو گلوله از بالای قاب مستطیلی شكلی، مطابق شكل رها می‌شوند. یكی از گلوله‌ها از سمت راست و دیگری از سمت چپ درون قاب پایین می‌آیند و از رأس پایینی خارج می‌شوند. اگر گوشه‌های قاب آنقدر گرد باشند كه در سرعت گلوله‌ها تأثیری نداشته باشند، كدامیك از گلوله‌ها از رأس پایینی زودتر خارج می‌شود؟ می‌دانیم كه شتاب گلوله‌ها در ضلع كوتاهتربزرگتر از شتاب آنها در ضلع بلندتراست.
img/daneshnameh_up/1/1e/phm036j.gif
حل. ابتدا نشان می‌دهیم كه سرعت دو گلوله در هنگام خروج یكی است.
img/daneshnameh_up/2/22/phm036k.gif
img/daneshnameh_up/6/67/phm036l.gif
حال به نمودارهای ممكن دو متحرك نگاهی بیندازیم:
img/daneshnameh_up/2/2e/phm036m.gif
چون كه سرعت ‌نهایی هر دو یكی است و هر دو می‌بایست مسافت را طی كنند كه همان مساحت زیر نمودار آنهاست. از شكل پیداست كه گلوله‌ سمت راست بعلت آنكه زودتر سریع می‌شود، زودتر مسافترا طی می‌كند درحالیكه در مورد سمت چپ این اتفاق كُندتر می‌افتد.
گونه دیگر استدلال می‌تواند نمودار زیر باشد:
چنانچه هر دو همزمان به نقطه انتهایی برسند قطعاً راست، مسافت بیشتری پیموده كه نادرست است.

img/daneshnameh_up/8/88/phm036n.gif


پیوند های خارجی

http://Olympiad.roshd.ir/physics/content/pdf/0060.pdf




تعداد بازدید ها: 31069


ارسال توضیح جدید
الزامی
big grin confused جالب cry eek evil فریاد اخم خبر lol عصبانی mr green خنثی سوال razz redface rolleyes غمگین smile surprised twisted چشمک arrow



از پیوند [http://www.foo.com] یا [http://www.foo.com|شرح] برای پیوندها.
برچسب های HTML در داخل توضیحات مجاز نیستند و تمام نوشته ها ی بین علامت های > و < حذف خواهند شد..