منو
 کاربر Online
1771 کاربر online

اوضاع نسبی گزاره‌ها

تازه کردن چاپ
علوم ریاضی > ریاضی > شاخه های ریاضی > ریاضی محض
علوم ریاضی > ریاضی > ریاضیات نوین > منطق ریاضی
(cached)

مقدمه

در مجموعه گزاره‌ها می‌توان رابطه‌هایی را تعریف کرد که بنابر آنها گزاره‌ای را با گزاره دیگر یا سایر گزاره‌ها نظیر نمود. تعریف این رابطه‌ها را از دیدهای مختلف می‌توان انجام داد. اینگونه رابطه‌ها را رابطه ارزش‌ها می‌نامیم. رابطه ارزش‌ها را می‌توان بصورت عبارتی از زبان متداول تعریف کرد یا اینکه آن بصورت یک جدول بنام جدول ارزش‌ها ، یه بصورت نمودار پیکانی بین مجموعه ارزش‌ها نشان داد، یا اینکه آن را بصورت عبارتی جبری بین ارزش‌های دو گزاره بیان کرد.

جدول ارزش‌ها

یک گزاره یا ارزش 1 دارد یا ارزش صفر. ارزش گزاره دیگر بر حسب ارزش مشخص می‌شود. این جداول یا بصورت افقی یا بصورت عمودی تنظیم می‌شوند.

نمودار پیکانی

رابطه بین ارزش‌های گزاره‌ها را همانگونه که برای نمایش رابطه ریاضی معمولی است می‌توان بصورت پیکانهایی که عضوهای مجموعه ارزش‌های گزاره‌ای را به مجموعه ارزش‌های گزاره دوم ربط می‌دهد نمایش داد.

مجموعه جفت‌ها

همانند روابط ریاضی ، رابطه ارزش‌های مثلا دو گزاره را می‌توان بصورت مجموعه‌یی از جفت‌های مرتب نشان داد. در حالت کلی داریم:



عبارت جبری ارزش‌ها

برای هر حالت از اوضاع نسبی دو گزاره می‌توان عبارتی جبری از ارزش‌های دو گزاره تشکیل داد که حاصل آن را منحصرا به ازای ارزش‌هایی که آن دو گزاره در آن حالت انتخاب می‌کنند برابر مقدار ثابت معلوم باشد، بطور کلی:



تابع ارزش

همانگونه که یک رابطه ریاضی ممکن است تابع باشد، رابطه ارزش‌های دو گزاره نیز ممکن است در حالتهایی تابع باشد؛ اگر بتوان ارزش یک گزاره را از روی ارزش گزاره معلوم کرد، گزاره را تابع ارزش گزاره می‌نامند. در حالت کلی هرگاه ارزش گزاره‌ای چون به ارزش گزاره‌های دیگری چون و ... بستگی داشته باشد و برحسب آنها بدست آید، را تابع ارزش گزاره‌های مزبور می‌نامند. اگر دو گزاره تابع ارزش یکدیگر باشند دارای رابطه ارزشها نیز هستند، اما ممکن است که ارزش‌های دو گزاره در رابطه باشند ولی آن دو گزاره تابع ارزش یکدیگر نباشند. دو گزاره ساده که تابع ارزش یکدیگر باشند، نسبت به هم یکی از سه حالت برابری ، هم‌ارزی و ناارزی را خواهند داشت. که در زیر به توضیح هر یک از سه حالت مذکور خواهیم پرداخت.

همانی ، برابری

اگر دو گزاره چنان باشند که همان باشد می‌گوییم با معادل یا برابر است و می‌نویسیم: یا . در ضمن دو گزاره برابر تابع ارزش یکدیگر نیز هستند. برای مثل دو گزاره "فرزانه دانشجو است" و "فرزانه محصل دانشگاه است" باهم برابر خواهند بود.

هم‌ارزی

دو گزاره اگر چنان باشند که چون یکی از آنها درست باشد دیگری هم درست است و همین‌طور برعکس، اگر یکی نادرست است پس دیگری هم نادرست ارزشیابی می‌شود، هم‌ارز نامیده می‌شوند. بنابراین برای گزاره‌ها هنگامی هم‌ارزی را داریم که اگر مثلا گزاره درست است گزاره نیز درست باشند و اگر نادرست است هم نادرست خواهد بود. بنابراین گزاره‌های هم‌ارز همواره در ارتباط و در تماس با یکدیگرند و از یکدیگر تاثیر دقیقا مشابهی را می‌گیرند. مجموعه جفت‌های مجموعه‌های هم‌ارز یا همگی یک هستند و یا همگی صفر که نمایانگر یک تابع است یعنی اگر مثلا دو گزاره هم‌ارز باشند، تابع ارزش یکدیگرند. هم‌ارزی دو گزاره با یا نشان داده می‌شود. بنابراین در مطالعات ریاضی خرد وقتی به قضایایی برخورد می‌کنیم که بیان حکمی را با اگر و تنها اگر بیان می‌کند در حقیقت ما با گزاره‌های هم‌ارزی در ارتباط هستیم و اثبات یکی مستلزم قبول دیگری می باشد. برای مثال داریم: حسن برادر تنی حسین است. (گزاره ). حسن فرزند پدر و مادر حسین است (گزاره ).

ناهم‌ارزی (تباین)

دو گزاره که هم‌ارز نباشند ناهم‌ارز نامیده می‌شوند دو گزاره ناهم‌ارز نسبت به هم یکی از حالتهای ناارزی ، ناسازگاری ، سازش‌پذیری و درون‌ارزی را دارند.


  • ناارزی (نفی = تناقض): که ناارزی عبارت است از اینکه اگر دو گزاره چنان باشند که چون یکی از آنها درست است دیگری نادرست باشد و چون یکی نادرست است دیگری باید درست باشد ناارز یکدیگر یا نقیض یکدیگر معرفی می‌شوند. دو گزاره که ناارز یکدیگر باشند تابع ارزش یکدیگرند.

  • ناسازگاری (تضاد): ناسازگاری عبارت است از اینکه دو گزاره را که هر دو با هم نتوانند درست باشند ناسازگار یا متضاد می‌نامند بنابراین از دو گزاره ناسازگار یکی از آنها یا هر دوی آنها نادرست است. پذیرفتن ناسازگاری دو گزاره این پرسش را پیش می‌آورد که سازگاری آنها چیست؟ برای پاسخ به این پرسش باید بیان کنیم که اگر ناسازگاری را نفی سازگاری بدانیم. سازگاری دو گزاره و آن می‌شود که داشته باشیم هر دو گزاره باهم درست باشند.

  • سازش پذیری (تداخل تحت تضاد): سازش‌پذیری (تداخل تحت تضاد) عبارت است از دو گزاره که هر دو باهم نادرست نباشند سازش پذیر نامیده می‌شوند، بنابراین از دو گزاره سازش پذیری یکی از آنها یا هر دوی آنها درست است.

  • درون‌ارزی یا تداخل: هرگاه دو گزاره چنان باشند که چون اولی درست است پس دومی نیز درست باشد و چون دومی نادرست است پس اولی نیز نادرست است. گزاره اول را نسبت به گزاره دوم درون‌ارز یا متداخل می‌نامند. در چنین وضعی اگر گزاره اول نادرست باشد دومی ممکن است یا نادرست باشد و برعکس.

مباحث مرتبط با عنوان


  • مطلب از: آیدا سلیم نژاد

تعداد بازدید ها: 11471


ارسال توضیح جدید
الزامی
big grin confused جالب cry eek evil فریاد اخم خبر lol عصبانی mr green خنثی سوال razz redface rolleyes غمگین smile surprised twisted چشمک arrow



از پیوند [http://www.foo.com] یا [http://www.foo.com|شرح] برای پیوندها.
برچسب های HTML در داخل توضیحات مجاز نیستند و تمام نوشته ها ی بین علامت های > و < حذف خواهند شد..