Latex Error:
مه
برای محاسبه
انتگرالهای معین توابعی نظیر:
که پاد مشتقهایشان فرمول ساده‌ای ندارند، از روشهای عددی نظیر
قاعده ذوزنقه‌ای و سیمپسوم استفاده می‌کنیم. به کمک این قواعد همچنین می‌توانیم انتگرال یک تابع را از جدول مقادیرش ، حتی اگر فرمولی برای آن تابع در اختیار نداشته باشیم بدست آوریم. چنین حالتی وقتی پیش می‌آید که اطلاعات ما درباره یک تابع بصورت مجموعه‌ای از مقادیر خاصی باشد که در آزمایشگاه یا ضمن کار بدست می‌آید.
قاعده ذوزنقه‌ای
قاعده ذوزنقه‌ای برای محاسبه مقدار یک
انتگرال معین بر پایه تقریب زدن ناحیه بین یک خم و محورx به کمک ذوزنقه‌ها به جای مستطیل‌ها استوار است. طول زیر بازه‌هایی که از تقسیم بازه به کمک نقاط
بدست می‌آیند، ضرورتی ندارد برابر باشند. اما اگر برابر باشند فرمول حاصل ساده‌تر می‌شود. بنابراین فرض می‌کنیم طول هر زیر بازه چنین باشد:
در قاعده ذوزنقه‌ای قطعات کوچک خم را با پاره‌خطهایی تقریب می‌زنیم. برای برآورد مساحت قسمت‌های مورد سؤال ، مساحتهای ذوزنقه‌هایی را که از وصل کردن دو سر این پاره‌خطها به محور x ایجاد می‌شوند جمع می‌کنیم. بنابراین برای تقریب زدن
توسط قاعده ذوزنقه‌ای از رابطه زیر استفاده می‌کنیم: (طول هر یک از
است)
ضمنا داریم:
برآورد خطا در قاعده ذوزنقه‌ای
اگر f پیوسته و M یک کران بالا برای مقادیر
روی
باشد آنگاه خطای
در تقریب ذوزنقه‌ای انتگرال f از a تا b در نابرابری زیر صدق می‌کند.
- قاعده ذوزنقه‌ای برای چند جمله‌ایها تا درجه دوم دقیق تر است.
قاعده سیمپسون
هر سه نقطه‌ای از یک صفحه را که روی یک خط راست واقع نباشند می‌توان روی یک سهمی جای داد.
قاعده سیمپسون بر پایه تقریب‌زدن خم‌ها با سهمی D به عوض ذوزنقه‌ها استوار است مساحت قسمت دلخواه از زیر سهمی با بکاربردن پیاپی فرمول زیر در سراسر خم پیوسته
از x=a تا x=b برآوردی از
بدست می‌دهد که معمولا برای یک اندازه گام مفروض h ، از T دقیق‌تر است:
بنابراین برای تقریب‌زدن
توسط قاعده سیمپسون فرمول زیر را بکار می‌بریم:
توجه: n زوج است و
می‌باشد.
همان‌طور که مشهود است قاعده ذوزنقه‌ای بسیار کند است، به عبارت دیگر برای بدست‌آوردن تقریبی نه چندان دقیقی باید تابع را در نقاط بسیاری محاسبه کرد. روش سیمپسون برای محاسبات دستی بسیار ساده و نسبتا دقیق است. برای مثال تقریبی از
به قاعده سیمپسون با
بصورت زیر است:
::
،
نسبتا دقیق است.
برآورد خطا در قاعده سیمپسون
اگر
پیوسته و M یک کران بالا برای مقادیر
روی
باشد آنگاه خطای
در تقریب سیمپسون انتگرال f از a تا b در نابرابری زیر صدق می‌کند:
قاعده نقطه میانی
روشهای انتگرال‌گیری ذوزنقه‌ای و سیمپسون که شرحشان گذشت از نقاط ابتدایی و انتهایی بازه انتگرال‌گیری استفاده می‌کنند. بنابراین برای محاسبه تقریب‌هایی از انتگرالهای نظیر
Latex Error:
{\int_{0}
{1} \frac {dx} {\sqrt {x} , \int_{-1}
{1} , \frac {dx} {\sqrt {1-x^2}}
به این روشها میسر نیست زیرا
و
در آنها تعریف نشده‌اند. در این قاعده قرار می‌دهیم:
ملاحظه می‌شود که در فرمول فوق از مقدار تابع در {
TEX()} {x_0}
و
یعنی b,a استفاده نشده است.
خصوصیات روش نقطه میانی
این روش ظاهرا بهتر از دو روش قبلی است زیرا خطای آن نصف خطای روش ذوزنقه‌ای است و از یک مقدار تابع نیز کمتر استفاده می‌شود. علاوه بر این توابعی که در نقاط b,a مقدار نامعین دارند قابل استفاده است.
برآورد خطا در قاعده نقطه میانی
خطای نقطه میانی نصف خطای قاعده ذوزنقه‌ای است برای تعیین خطای کل داریم:
قاعده رامبرگ
با استفاده از قاعده رامبرگ و به کمک مقادیر تقریبی که از روشهای ساده‌ای همچون قاعده ذوزنقه‌ای و قاعده سیمپسون برای
حساب می‌شود و بدون محاسبه تابع f در نقاط اضافی می‌توان تقریبهای بهتری برای
حساب کرد. اساس این روش بر این مطلب استوار است که می‌دانیم:
که آنها
ها مستقل از h و متناسب با
مشتق iام تابع f هستند. در نهایت پس از یکسری عملیات ریاضی ، قاعده رامبرگ به اینصورت به داد محاسبه انتگرال I می‌رسد.
در مرحله p ام از قاعده رامبرگ داریم:
مباحث مرتبط با عنوان
